Question

已知△ABC頂點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別是A（3，5）、B（0，1）、C（8，-7）．
（1）求cosB的值；
（2）若

AD

=（-2，-5），證明：B、C、D三點(diǎn)共線．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,直線的斜率

專題：解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）（方法一）由兩點(diǎn)間距離公式可求AB，AC，BC的值，由余弦定理即可求cosB；（方法二）求出兩個(gè)向量，由向量的夾角公式即可得解．
（2）（方法一）求出向量

BC

，

BD

，可得

BC

=8

BD

，從而得證．
（方法二）先求直線BC的方程，設(shè)D（m，n），由

AD

=（-2，-5）可解得D點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得B、C、D三點(diǎn)共線．

解答： 解：（1）（方法一）AB=

(0-3)2+(1-5)2

=5，AC=13，BC=8

2

…（3分）
cosB=

AB2+BC2-AC2

2×AB×BC

=

52+(8 2 ) 2-132

2×5×8 2

=-

2

10

…（6分）（公式2分）
（方法二）

BA

=(3，4)，

BC

=(8，-8)…（2分）
cosB=

BA • BC

| BA |•| BC |

=

3×8-4×8

5×8 2

=-

2

10

…（6分）（公式2分）
（2）（方法一）

BC

=(8，-8)，

BD

=

BA

+

AD

=(1，-1)…（9分）
∵

BC

=8

BD

，
∴

BC

、

BD

共線…（11分）
∵

BC

、

BD

有共同的始點(diǎn)，
∴B、C、D三點(diǎn)共線…（12分）
（方法二）經(jīng)過(guò)B（0，1）、C（8，-7）兩點(diǎn)的直線BC的方程為

y-1

-7-1

=

x-0

8-0

（即x+y=1）…（9分）
設(shè)D（m，n），由

AD

=（-2，-5）得（x-3，y-5）…（10分）
解得D（1，0）…（11分）
∵

0-1

-7-1

=

1-0

8-0

（或1+0=1），
∴（D在BC上）B、C、D三點(diǎn)共線…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了余弦定理，直線的方程，向量的夾角公式以及兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，熟練記憶和使用公式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．