如圖,PA⊥平面AC,四邊形ABCD是矩形,E、F分別是AB、PD的中點.
(Ⅰ)求證:AF∥平面PCE;
(Ⅱ)若二面角P-CD-B為45°,AD=2,CD=3,求點F到平面PCE的距離.
分析:(Ⅰ)取PC中點M,連接ME、MF.由FM∥CD,F(xiàn)M=
1
2
CD,AE∥CD,AE=
1
2
CD
,知AE∥FM,且AE=FM,由此能證明四邊形AFME是平行四邊形,從而得到AF∥平面PCE.
(Ⅱ)由PA⊥平面AC,CD⊥AD,根據(jù)三垂線定理知,CD⊥PD,故∠PDA是二面角P-CD-B的平面角,所以△PAD是等腰直角三角形,由AF⊥PD,AF⊥CD,得到面PEC⊥面PCD,由此入手能夠求出點F到平面PCE的距離.
解答:解:(Ⅰ)取PC中點M,連接ME、MF.
FM∥CD,F(xiàn)M=
1
2
CD,AE∥CD,AE=
1
2
CD
,…(2分)
∴AE∥FM,且AE=FM,
即四邊形AFME是平行四邊形,
∴AF∥EM,∵AF?平在PCE,
∴AF∥平面PCE.…(4分)
(Ⅱ)∵PA⊥平面AC,CD⊥AD,
根據(jù)三垂線定理知,CD⊥PD,
∴∠PDA是二面角,
P-CD-B的平面角,則∠PDA=45°…(6分)
于是,△PAD是等腰直角三角形,
∵AF⊥PD,又AF⊥CD,
∴AF⊥面PCD.而EM∥AF,
∴EM⊥面PCD.又EM?平面PEC,
∴面PEC⊥面PCD.…(8分)
在面PCD內(nèi)過F作FH⊥PC于H,
則FH為點F到平面PCE的距離.…(10分)
由已知,PD=2
2
,PF=
1
2
PD=
2
,PC=
17

∵△PFH∽△PCD,
FH
PF
=
CD
PC
,F(xiàn)H=
3
34
17
.…(12分)
點評:本題考查直線與平面平行的證明,考查點F到平面PCE的距離的求法.解題時要認真審題,仔細解答,注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.
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如圖,PA⊥平面AC,四邊形ABCD是矩形,E、F分別是AB、PD的中點.
(1)求證:AF∥平面PCE;
(2)若二面角P-CD-B為45°,AD=2,CD=3,求點F到平面PCE的距離;
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