Question

若函數(shù)y=kx²-4x+k-3對一切實數(shù)x都有y＜0，則實數(shù)k的取值范圍是________．

Answer 1

（-∞，-1）
分析：因為函數(shù)y=kx²-4x+k-3對一切實數(shù)x都有y＜0所以函數(shù)y=kx²-4x+k-3的圖象全部在x軸的下方．分k=0與k＜0兩種情況討論，顯然k=0不符合題意，k＜0時，二次函數(shù)y=kx²-4x+k-3的圖象全部在x軸的下方所以解得k＜-1．
解答：∵函數(shù)y=kx²-4x+k-3對一切實數(shù)x都有y＜0
∴函數(shù)y=kx²-4x+k-3的圖象全部在x軸的下方
①當(dāng)k=0時函數(shù)y=-4x-3顯然此時函數(shù)的圖象不全部在x軸的下方
所以k=0不符合題意
②當(dāng)k≠0時原函數(shù)是二次函數(shù)
∵函數(shù)y=kx²-4x+k-3對一切實數(shù)x都有y＜0
∴二次函數(shù)y=kx²-4x+k-3的圖象全部在x軸的下方
所以解得k＜-1
由①②可得實數(shù)k的取值范圍是 （-∞，-1）．
故答案為：（-∞，-1）．
點評：解決此類題目的關(guān)鍵是先討論函數(shù)是什么樣的函數(shù)，一次還是二次，在利用函數(shù)獨有的性質(zhì)進(jìn)行解題，而對于二次函數(shù)恒成立問題解決的關(guān)鍵是注意開口方向與△即可．