Question

自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生的資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考查其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚群總量的影響．用x_n表示某魚群在第n年年初的總量，n∈N^*，且x₁＞0，不考慮其他因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及被捕撈量都與x_n成正比，死亡量與x²_n成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，c．

(1)求x_n+1與x_n的關(guān)系式；

(2)猜測(cè)，當(dāng)且僅當(dāng)x₁，a，b，c滿足什么條件時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變？(不要求證明)

(3)設(shè)a＝2，c＝1，為保證對(duì)任意x₁∈(0，2)，都有x_n＞0，n∈N^*，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是多少？證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)從第n年初到第n＋1年初，魚群的繁殖量為axn，被捕撈量為bxn，死亡量為cx2n，因此，xn+1－xn＝axn－bxn－cx2n，n∈N+　　① 　　即xn+1＝xn(a－b＋1－cxn)，n∈N+　　② 　　(2)若每年年初魚群總量保持不變，則xn恒等于x1，n∈N+，從而由①式，得xn(a－b－cxn)恒等于0，n∈N+．所以a－b－cx1＝0，即x1＝． 　　因?yàn)閤1＞0，所以a＞b． 　　猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)a＞b，且x1＝時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變． 　　(3)若b的值使得xn＞0，n∈N+，由xn+1＝xn(3－b－xn)，n∈N+，知0＜xn＜3－b，n∈N+，特別地，有0＜x1＜3－b． 　　即0＜b＜3－x1． 　　而x1∈(0，2)， 　　所以b∈(0，1]． 　　由此猜測(cè)b的最大允許值是1． 　　下證：當(dāng)x1∈(0，2)，b＝1時(shí)，都有xn∈(0，2)，n∈N+． 　　①當(dāng)n＝1時(shí)，結(jié)論顯然成立． 　　②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)結(jié)論成立，即xk∈(0，2)． 　　則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，xk+1＝xk(2－xk)＞0． 　　又因?yàn)閤x+1＝xk(2－xk)＝－(xk－1)2＋1≤1＜2， 　　所以xk+1∈(0，2)．故當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立． 　　由①②可知，對(duì)于任意n∈N+，都有xn∈(0，2)．綜上所述，為保證對(duì)任意x1∈(0，2)，都有xn＞0，n∈N+，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是1．