Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n．已知a₁=a，a_n+1=2S_n-2ⁿ，n∈N^*．
（Ⅰ）設(shè)b_n=S_n-2ⁿ，求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若a_n+1≤a_n，n∈N^*，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，S_n+1=3S_n-2ⁿ，所以b_n+1=3b_n，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項公式．
（Ⅱ）由S_n=（a-2）3^n-1+2ⁿ，n∈N^*，知當(dāng)n≥2時，a_n=2（a-2）3^n-2+2^n-1，a_n+1-a_n=4•3n-2[(a-2)+

1

2

(

2

3

)n-2]．n≥2時，a_n+1≤a_n?(a-2)+

1

2

(

2

3

)n-2≤0?a≤2-

1

2

(

2

3

)n-2?a≤

3

2

；n=1時，a₂≤a₁?2a-2≤a?a≤2，由此能求出a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）依題意，S_n+1-S_n=a_n+1=2S_n-2ⁿ，
即S_n+1=3S_n-2ⁿ，
由此得S_n+1-2ⁿ⁺¹=3（S_n-2ⁿ）．
即b_n+1=3b_n（4分）
因此，所求通項公式為：
b_n=S_n-2ⁿ=（S₁-2）•3^n-1=（a-2）•3^n-1，n∈N^*．①（6分）
（Ⅱ）由①知S_n=（a-2）3^n-1+2ⁿ，n∈N^*，
于是，當(dāng)n≥2時，
a_n=S_n-S_n-1=（a-2）3^n-1+2ⁿ-[（a-2）3^n-2+2^n-1]
=2（a-2）3^n-2+2^n-1，
∴a_n+1-a_n=2（a-2）3^n-1+2ⁿ-[2（a-2）3^n-2+2^n-1]
=4（a-2）3^n-2+2^n-1
=4•3n-2[(a-2)+

1

2

(

2

3

)n-2]．（8分）
當(dāng)n≥2時，a_n+1≤a_n
?(a-2)+

1

2

(

2

3

)n-2≤0
?a≤2-

1

2

(

2

3

)n-2
?a≤

3

2

（10分）
又n=1時，a₂≤a₁?2a-2≤a
?a≤2（11分）
所以?n∈N^*，a的取值范圍是(-∞，

3

2

]（12分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法和求實數(shù)a的取值范圍，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意數(shù)列遞推式的靈活運用．