Question

若不等式

x2+1+m

x2+m

≥

1+m

m

（x∈R）對任意實數(shù)x都成立，則正實數(shù)m取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：計算題,綜合題,不等式的解法及應用

分析：

x2+1+m

x2+m

≥

1+m

m

即

x2+m

+

1

x2+m

≥

1+m

m

，令t=

x2+m

，t≥

m

，則不等式可化為t+

1

t

≥

1+m

m

，從而不等式等價于(t+

1

t

)min≥

1+m

m

，利用導數(shù)可求得(t+

1

t

)min，注意討論m的范圍．

解答： 解：

x2+1+m

x2+m

≥

1+m

m

即

x2+m

+

1

x2+m

≥

1+m

m

，
令t=

x2+m

，t≥

m

，則不等式可化為t+

1

t

≥

1+m

m

，
令y=t+

1

t

，則y′=1-

1

t2

=

(t+1)(t-1)

t2

，
①當0＜m＜1時，若

m

≤t＜1，y′＜0，若t＞1，y′＞0，
∴t=1時，y_min=2，
∴2≥

1+m

m

，(

m

-1)2≤0，無解；
②當m≥1時，y′=

(t+1)(t-1)

t2

≥0，
y=t+

1

t

在[

m

，+∞]上為增函數(shù)，
∴ymin=

1

m

+

m

≥

1+m

m

，該不等式恒成立，
∴m≥1，
綜上，m≥1．
故答案為：m≥1．

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題、利用導數(shù)求函數(shù)的最值，考查轉化思想、分類討論思想，轉化為函數(shù)最值是解決恒成立問題的常用方法，注意體會．