Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x|x-a|+b
（1） 求證：f（x）為奇函數(shù)的充要條件是a²+b²=0；
（2）設(shè)常數(shù)b＜2-3，求對任意x∈[0，1]，f（x）＜0的充要條件．

Answer 1

解：（1）充分性：若a²+b²=0∴a=b=0
∴f（x）=x|x|對任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0
∴f（x）為奇函數(shù)，故充分性成立．
必要性：若f（x）為奇函數(shù)
則對任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0恒成立，
即-x|-x-a|+b+x|x-a|+b=0
令x=0，得b=0；令x=a，得a=0．∴a²+b²=0
（2）由b＜2 -3＜0，當(dāng)x=0時(shí)a取任意實(shí)數(shù)不等式恒成立
當(dāng)0＜x≤1時(shí)f（x）＜0恒成立，也即x+＜a＜x-恒成立
令g（x）=x+在0＜x≤1上單調(diào)遞增，∴a＞g_max（x）=g（1）=1+b
令h（x）=x-，則h（x）在（0，]上單調(diào)遞減，[，+∞）單調(diào)遞增
1°當(dāng)b＜-1時(shí)h（x）=x-在0＜x≤1上單調(diào)遞減
∴a＜h_min（x）=h（1）=1-b．∴1+b＜a＜1-b．
2°當(dāng)-1≤b＜2 -3時(shí)，h（x）=x-≥2 ，
∴a＜h_min（x）=2 ，∴1+b＜a＜2 ．
分析：（1）欲證f（x）為奇函數(shù)的充要條件是a²+b²=0，須證兩個(gè)方面：①充分性：若a²+b²=0?f（x）為奇函數(shù)，②必要性：若f（x）為奇函數(shù)?a²+b²=0．
（2）分類討論：①當(dāng)x=0時(shí)a取任意實(shí)數(shù)不等式恒成立；②當(dāng)0＜x≤1時(shí)f（x）＜0恒成立，再轉(zhuǎn)化為x+＜a＜x-恒成立問題，下面利用函數(shù)g（x）=x+的最值即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查充要條件、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．證明充要條件的方法是：如果能從命題p推出命題q，且能從命題q推出命題p，那么 條件q與條件p互為充分必要條件，簡稱充要條件．