Question

已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（1）=1，且對任意x∈R，f′（x）＞1，則f（x）＞x的解集為

（1，+∞）

．

Answer 1

分析：題目給出的函數(shù)f（x）為抽象函數(shù)，沒法代式求解不等式f（x）＞x，結(jié)合題目給出了對任意x∈R，f′（x）＞1這一條件，想到借助于輔助函數(shù)解決，令令g（x）=f（x）-x，然后分析g（x）在實數(shù)集上的單調(diào)性，又f（1）=1，可求出g（1）=0，最后用g（x）與0的關(guān)系求解不等式f（x）＞x的解集．

解答：解：令g（x）=f（x）-x，則，g^′（x）=f^′（x）-1，
∵f^′（x）＞1，∴g^′（x）＞0，所以函數(shù)g（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，
又g（1）=f（1）-1=0，則由g（x）＞0，得g（x）＞g（1），即x＞1，
∴f（x）-x＞0的解集為（1，+∞），也就是f（x）＞x的解集為（1，+∞）
故答案為（1，+∞）．

點評：本題主要考查導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減，解答此題的關(guān)鍵是引入輔助函數(shù)g（x）．