Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，離心率為

1

2

，點P、A、B在該橢圓上，且P坐標(biāo)為（2，3），線段AB的中點T在直線OP上，且A、O、B三點不共線．
（1）求橢圓方程；
（2）求直線AB的斜率；
（3）求△PAB面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由離心率為

1

2

，點P（2，3）在該橢圓上，可得

c a = 1 2 4 a2 + 9 b2 =1 a2=b2+c2

，解得即可．
（2）直線OP的方程為：y=

3

2

x，可設(shè)T（2m，3m）（m≠0）．直線AB的斜率為k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由于A、B在該橢圓上，可得

x 2 1

16

+

y 2 1

12

=1，

x 2 2

16

+

y 2 2

12

=1，兩式相減并把

y1-y2

x1-x2

=k，x₁+x₂=4m，y₁+y₂=6m代入即可得出．
（3）設(shè)直線AB的方程為：y=-

1

2

x+t，聯(lián)立

y=- 1 2 x+t x2 16 + y2 12 =1

，化為x²-tx+t²-12=0，由△＞0，解得-4＜t＜4．利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式可得S_△PAB=

1

2

|AB|•d═

3

2

-t4+8t3-128t+256

．設(shè)f（t）=-t⁴+8t³-128t+256（-4＜t＜4），再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵離心率為

1

2

，點P（2，3）在該橢圓上，
∴

c a = 1 2 4 a2 + 9 b2 =1 a2=b2+c2

，解得a²=16，b²=12，c=2．
∴橢圓的方程為

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）直線OP的方程為：y=

3

2

x，可設(shè)T（2m，3m）（m≠0）．
直線AB的斜率為k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵A、B在該橢圓上，∴

x 2 1

16

+

y 2 1

12

=1，

x 2 2

16

+

y 2 2

12

=1，
兩式相減可得：

(x1-x2)(x1+x2)

16

+

(y1-y2)(y1+y2)

12

=0，
∵

y1-y2

x1-x2

=k，x₁+x₂=4m，y₁+y₂=6m，
代入上式可得：

4m

16

+

6mk

12

=0，
∵m≠0，解得k=-

1

2

．
（3）設(shè)直線AB的方程為：y=-

1

2

x+t，聯(lián)立

y=- 1 2 x+t x2 16 + y2 12 =1

，
化為x²-tx+t²-12=0，由△＞0，解得-4＜t＜4．
∴x₁+x₂=t，x₁x₂=t²-12．
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|
=

[1+(- 1 2 )2][(x1+x2)2-4x1x2]

=

5

2

t2-4(t2-12)

=

15

2

•

16-t2

．
點P到直線AB的距離d=

|8-2t|

5

，
∴S_△PAB=

1

2

|AB|•d=

1

2

•

|8-2t|

5

•

15

2

•

16-t2

=

3

2

-t4+8t3-128t+256

．
設(shè)f（t）=-t⁴+8t³-128t+256（-4＜t＜4），
則f′（t）=-4t³+24t²-128=-4（t+2）（t-4）²，
令f′（t）＜0，解得-2＜t＜4，此時函數(shù)f（t）單調(diào)遞減；
令f′（t）＞0，解得-4＜t＜-2，此時函數(shù)f（t）單調(diào)遞增．
∴f（t）的極大值為f（-2）=432，可得S的最大值為18．

點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．