Question

已知函數(shù)f(x)=cos(

π

3

+x)cos(

π

3

-x)-sinxcosx+

1

4

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和與差的余弦公式、二倍角的三角函數(shù)公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，得f（x）=

2

2

cos(2x+

π

4

)，由此可得函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間公式解不等式，得出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

](k∈z)，再將此區(qū)間與[0，π]取交集，即可得到f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答：解：（1）∵f(x)=cos(

π

3

+x)cos(

π

3

-x)-

1

2

sin2x+

1

4

=(

1

2

cosx-

3

2

sinx)(

1

2

cosx+

3

2

sinx)-

1

2

sin2x+

1

4

=

1

4

cos2x-

3

4

sin2x-

1

2

sin2x+

1

4

=

1+cos2x

8

-

3-3cos2x

8

-

1

2

sin2x+

1

4

=

1

2

(cos2x-sin2x)=

2

2

cos(2x+

π

4

)；
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為 T=π，函數(shù)f（x）的最大值為

2

2

；
（2）設(shè)2kπ≤2x+

π

4

≤2kπ+π(k∈z)，解得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

(k∈z)．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

](k∈z)；
又∵x∈[0，π]，
∴分別取k=0和1，取交集可得f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為[0，

3π

8

]和[

7π

8

，π]．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、周期與最值．著重考查了三角恒等變換公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．