Question

在探究函數f(x)=x3+

3

x

，x∈(-∞，0)∪(0，+∞)的最值中，
（1）先探究函數y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的最值，列表如下：

x	…	0.1	0.2	0.5	0.7	0.9	1	1.1	1.2	1.3	2	3	4	5	…
y	…	30.00	15.01	6.13	4.63	4.06	4	4.06	4.23	4.50	9.50	28	64.75	125.6	…

觀察表中y值隨x值變化的趨勢，知x=

1

時，f（x）有最小值為

4

；
（2）再依次探究函數y=f（x）在區(qū)間（-∞，0）上以及區(qū)間（-∞，0）∪（0，+∞）上的最值情況（是否有最值？是最大值或最小值？），請寫出你的探究結論，不必證明；
（3）請證明你在（1）所得到的結論是正確的．

Answer 1

分析：（1）觀察表中y值隨x值變化的趨勢，即可得出答案；
（2）利用奇函數的對稱性及（1）的結論即可得出；
（3）利用導數研究函數的單調性、極值即可得出．

解答：解：（1）觀察表中y值隨x值變化的趨勢，知x=1時，f（x）有最小值為4；
（2）由奇函數的對稱性可知：函數y=f（x）在區(qū)間（-∞，0）上有最大值-4，此時x=-1．
∵函數y=f（x）在區(qū)間（-∞，0）∪（0，+∞）上的值域是（-∞，-4]∪[4，+∞），
∴函數y=f（x）在區(qū)間（-∞，0）∪（0，+∞）上的既不存在最大值，也不存在最小值；
（3）當x＞0時，f′(x)=3x2-

3

x2

=

3(x2+1)(x+1)(x-1)

x2

，
令f′（x）=0，解得x=1．
當0＜x＜1時，f′（x）＜0，函數f（x）在此區(qū)間內單調遞減；
當1＜x時，f′（x）＞0，函數f（x）在此區(qū)間內單調遞增．
∴函數f（x）在x=1時取得極小值，也即最小值，且f（1）=4．

點評：學會觀察分析，熟練掌握奇函數的對稱性、利用導數研究函數的單調性極值是解題的關鍵．