設(shè)y=f(x)是定義在區(qū)間[-1,1]上的函數(shù),且滿足條件,①f(-1)=f(1)=0,②對(duì)任意的u、v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|
(Ⅰ)證明:對(duì)任意x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x
(Ⅱ)證明:對(duì)任意的u,v∈[-1,1]都有|f(u)-f(v)|≤1
(Ⅲ)在區(qū)間[-1,1]上是否存在滿足題設(shè)條件的奇函數(shù)y=f(x)且使得
|f(u)-f(v)|<|u-v|uv∈[0,
1
2
]
|f(u)-f(v)|=|u-v|uv∈[
1
2
,1]
;若存在請(qǐng)舉一例,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(Ⅰ)證明:由題設(shè)條件可知,
當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),有|f(x)|=|f(x)-f(1)|≤|x-1|=1-x,即x-1≤f(x)≤1-x.
(Ⅱ)證明:對(duì)任意的u,v∈[-1,1],
當(dāng)|u-v|≤1時(shí),有|f(u)-f(v)|≤|u-v|≤1
當(dāng)|u-v|≤1時(shí),u•v<0,不妨設(shè)u∈[-1,0),v∈(0,1],則v-u>1
從而有|f(u)-f(v)|≤|f(u)-f(-1)|+|f(v)-f(1)|≤|u+1|+|v-1|=2-(v-u)<1
綜上可知,對(duì)任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤1
(Ⅲ)這樣滿足所述條件的函數(shù)不存在.理由如下:
假設(shè)存在函數(shù)f(x)滿足條件,則由|f(u)-f(v)|=|u-v|.
u,v∈[
1
2
,1]
|f(
1
2
)-f(1)|=|
1
2
-1|=
1
2

又f(1)=0,所以|f(
1
2
)|=
1
2

又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(0)=0,
由條件|f(u)-f(v)|<|u-v|.
u,v∈[0,
1
2
]
|f(
1
2
)|=|f(
1
2
)-f(0)|<|
1
2
-0|=
1
2

所以|f(
1
2
)|<
1
2

①與②矛盾,因此假設(shè)不成立,即這樣的函數(shù)不存在.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)y=f(x)是定義在區(qū)間(a,b)(b>a)上的函數(shù),若對(duì)?x1、x2∈(a,b),都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|,則稱(chēng)y=f(x)是區(qū)間(a,b)上的平緩函數(shù).
(1)試證明對(duì)?k∈R3,f(x)=x2+kx+14都不是區(qū)間(-1,1)5上的平緩函數(shù);
(2)若f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的、周期為T(mén)=2的平緩函數(shù),試證明對(duì)?x1、x2∈R,|f(x1)-f(x2)|≤1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),滿足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函數(shù),給出下列關(guān)于函數(shù)y=f(x)的判斷:
①y=f(x)是周期函數(shù);
②y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng);
③y=f(x)在[0,1]上是增函數(shù);
f(
12
)=0

其中正確判斷的序號(hào)是
 
.(把你認(rèn)為正確判斷的序號(hào)都填上)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)y=f(x)是定義在R上的函數(shù),給定下列三個(gè)條件:
(1)y=f(x)是偶函數(shù);
(2)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng);
(3)T=2為y=f(x)的一個(gè)周期.
如果將上面(1)、(2)、(3)中的任意兩個(gè)作為條件,余下一個(gè)作為結(jié)論,那么構(gòu)成的三個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)有
3
3
個(gè).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2003•北京)設(shè)y=f(x)是定義在區(qū)間[-1,1]上的函數(shù),且滿足條件:(i)f(-1)=f(1)=0;(ii)對(duì)任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|.
(Ⅰ)證明:對(duì)任意的x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x;
(Ⅱ)判斷函數(shù)g(x)=
1+x,x∈[-1,0)
1-x,x∈[0,1]
是否滿足題設(shè)條件;
(Ⅲ)在區(qū)間[-1,1]上是否存在滿足題設(shè)條件的函數(shù)y=f(x),且使得對(duì)任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|=u-v.
若存在,請(qǐng)舉一例:若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2003•北京)設(shè)y=f(x)是定義在區(qū)間[-1,1]上的函數(shù),且滿足條件,①f(-1)=f(1)=0,②對(duì)任意的u、v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|
(Ⅰ)證明:對(duì)任意x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x
(Ⅱ)證明:對(duì)任意的u,v∈[-1,1]都有|f(u)-f(v)|≤1
(Ⅲ)在區(qū)間[-1,1]上是否存在滿足題設(shè)條件的奇函數(shù)y=f(x)且使得
|f(u)-f(v)|<|u-v|uv∈[0,
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|f(u)-f(v)|=|u-v|uv∈[
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,1]
;若存在請(qǐng)舉一例,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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