Question

已知直線l₁和l₂在x軸上的截距相等，且它們的傾斜角互補(bǔ)，又直線l₁過(guò)點(diǎn)P（-3，3）．如果點(diǎn)Q（2，2）到l₂的距離為1，求l₂的方程．

Answer 1

分析：由已知直線l₁和l₂的傾斜角互補(bǔ)，所以二直線的斜率互為相反數(shù)，又它們?cè)趚軸上的截距相等，于是可設(shè)直線l₂的方程為y=k（x-a），直線l₁的方程為y=-k（x-a）．又直線l₁過(guò)點(diǎn)P（-3，3），所以點(diǎn)P的坐標(biāo)適合直線l₁的方程；由因?yàn)辄c(diǎn)Q（2，2）到l₂的距離為1，利用點(diǎn)到直線的距離公式得到一個(gè)式子，將二者聯(lián)立即可解出k、a．從而得出答案．

解答：解：由題意可設(shè)直線l₂的方程為y=k（x-a），則直線l₁的方程為y=-k（x-a）．
∵點(diǎn)Q（2，2）到l₂的距離為1，
∴

|k(2-a)-2|

1+k2

=1．（1）
又因?yàn)橹本�l₁過(guò)點(diǎn)P（-3，3），則3=-k（-3-a）．（2）
由（2）得ka=3-3k，代入（1），得

|5k-5|

1+k2

=1，∴12k²-25k+12=0．
解k=

4

3

，

3

4

．
則k=

4

3

時(shí)，代入（2）得k=-

3

4

，此時(shí)直線l₂：4x-3y+3=0；
k=

3

4

時(shí)，a=1，此時(shí)直線l₂：3x-4y-3=0．
所以直線l₂的方程為：4x-3y+3=0，或3x-4y-3=0．

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題意正確設(shè)出二直線的方程，再利用條件列出方程組是解題的關(guān)鍵．待定系數(shù)法是常用方法之一．