Question

3．如圖：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為D₁C₁，B₁C₁的中點(diǎn)，AC∩BD=P，A₁C₁∩EF=Q，直線A₁C與平面BDEF的交點(diǎn)為R．
（1）證明：B，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；
（2）證明：P，Q，R三點(diǎn)共線；
（3）證明：DE，BF，CC₁三線共點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）由已知條件推導(dǎo)出EF∥BD，由此能證明D、B、F、E四點(diǎn)共面．?
（2）設(shè)A₁ACC₁確定的平面為α，設(shè)平面BDEF為β，由已知條件推導(dǎo)出P、Q、R是α與β的公共點(diǎn)，由此能證明P、Q、R三點(diǎn)共線．
（3）由已知得DE與BF一定相交，平面BCC₁B₁∩平面DCC₁D₁=CC₁，由此能證明DE，BF，CC₁三線共點(diǎn)．

解答 證明：（1）∵EF是△D₁B₁C₁的中位線，∴EF∥B₁D₁．?
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁D₁$\underset{∥}{=}$BD，∴EF∥BD．?
∴EF、BD確定一個(gè)平面，即D、B、F、E四點(diǎn)共面．?
（2）正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，設(shè)A₁ACC₁確定的平面為α，
又設(shè)平面BDEF為β，∵Q∈A₁C₁，∴Q∈α．?
又Q∈EF，∴Q∈β．?
則Q是α與β的公共點(diǎn)，同理，P點(diǎn)也是α和β的公共點(diǎn)，∴α∩β=PQ．?
又A₁C∩β=R，∴R∈A₁C．?
∴R∈α且R∈β．則R∈PQ．?
故P、Q、R三點(diǎn)共線．
（3）∵EF∥BD，且EF≠BD，
∴DE與BF一定相交，設(shè)交點(diǎn)為M，
∵BF?平面BCC₁B₁，DE?平面DCC₁D₁，且平面BCC₁B₁∩平面DCC₁D₁=CC₁，
∴M∈CC₁，
∴DE，BF，CC₁三線共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了學(xué)生的識(shí)圖能力及平行性的證明與應(yīng)用，同時(shí)考查了三點(diǎn)共線的證明方法，屬于中檔題