Question

已知數(shù)列a,b,c為各項(xiàng)都是正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d(d＞0)，在a,b之間和b,c之間共插入m個(gè)實(shí)數(shù)后，所得到的m＋3個(gè)數(shù)所組成的數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，其公比為q．
（1）若a＝1,m＝1，求公差d；
（2）若在a,b之間和b,c之間所插入數(shù)的個(gè)數(shù)均為奇數(shù)，求所插入的m數(shù)的乘積（用a,c,m表示）
（3）求證：q是無(wú)理數(shù)．

Answer 1

解：（1）由a＝1，且等差數(shù)列a,b,c的公差為d，可知b＝1＋d，c＝1＋2d，
①若插入的數(shù)在a,b之間，則1＋d＝q²，1＋2d＝q³，消去q可得(1＋2d)²＝(1＋d)³，d＝．
②若插入的數(shù)在b,c之間，則1＋d＝q，1＋2d＝q³，消去q可得1＋2d＝(1＋d)³，此方程無(wú)正根．
故所求公差d＝
（2）設(shè)在a,b之間插入l個(gè)數(shù)，在b,c之間插入t個(gè)數(shù)，則l＋t＝m，
【由等比中項(xiàng)得：】
在等比數(shù)列{a_n}中，∵a₁＝a, a_l+2＝b＝, a_m+3＝c，a_ka_m+4－k＝a₁a_m+3＝ac(k＝2,3,···,m＋2)，
∴(a₂a₃…a_m+2)²＝(a₂a_m+2)·(a₃a_m+1)···(a_m+2a2)＝(ac)^m+1
又∵q^l+1＝＞0，q^t+1＝＞0，l,t都為奇數(shù)，∴q可以為正數(shù)，也可以為負(fù)數(shù)．
①若q為正數(shù)，則a₂a₃…a_m+2＝(ac)，所插入m個(gè)數(shù)的積為；
②若q為負(fù)數(shù)，a₂,a₃,…,a_m+2中共有＋1個(gè)負(fù)數(shù)，
當(dāng)是奇數(shù)，即m＝4k－2(k∈N^*)時(shí)，所插入m個(gè)數(shù)的積為；
當(dāng)是偶數(shù)，即m＝4k(k∈N^*）時(shí)，所插入m個(gè)數(shù)的積為．
綜上所述，當(dāng)m＝4k－2(k∈N^*)時(shí)，所插入m個(gè)數(shù)的積為；
當(dāng)m＝4k(k∈N^*）時(shí)，所插入m個(gè)數(shù)的積為．
注：可先將a₂,a₃,…,a_m+2用a和q表示，然后再利用條件消去q進(jìn)行求解．
（3）∵在等比數(shù)列{a_n}，由q^l+1＝＝，可得q^l+1－1＝，同理可得q^m+2－1＝，
∴q^m+2－1＝2(q^l+1－1)，即2q^l+1－1＝q^m+2 (m≥l)，
反證法：假設(shè)q是有理數(shù)，
①若q為整數(shù)，∵a,b,c是正數(shù)，且d＞0，∴|q|＞1，在2q^l+1－q^m+2＝q(2q^l－q^m+1)＝1中，∵2q^l+1－q^m+2是q的倍數(shù)，故1也是q的倍數(shù)，矛盾．
②若q不是整數(shù)，可設(shè)q＝（其中x,y為互素的整數(shù)，x＞1），
則有()^m+2＝2()^l+1－1，即y^m+2＝x^m−l+1(2y^l+1－x^l+1)，∵m≥l，可得m－l＋1≥1，
∴y^m+2是x的倍數(shù)，即y是x的倍數(shù)，矛盾．
∴ q是無(wú)理數(shù)．