Question

16．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)T_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n ，求證：$\frac{1}{{T}_{1}}$+$\frac{1}{{T}_{2}}$+…+$\frac{1}{{T}_{n}}$=-2（n∈N^*，n≥2）

Answer 1

分析 （1）運用數(shù)列的通項和前n項和的關(guān)系，化簡即可得到所求通項公式；
（2）運用對數(shù)的運算性質(zhì)，和等差數(shù)列的求和公式，計算即可得到．

解答 解：（1）n=1時，a₁=S₁=2-1=1，
n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-（2-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$）=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
上式對n=1也成立，
則a_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
（2）T_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n
=（1-1）+（1-2）+…+（1-n）
=$\frac{1}{2}$（0+1-n）n=$\frac{1}{2}$n（1-n）．

點評 本題考查數(shù)列的通項和前n項和的關(guān)系，考查等差數(shù)列的求和公式的運用，屬于中檔題．