Question

16．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)T_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n ，求證：$\frac{1}{{T}_{1}}$+$\frac{1}{{T}_{2}}$+…+$\frac{1}{{T}_{n}}$=-2（n∈N^*，n≥2）

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，化簡(jiǎn)即可得到所求通項(xiàng)公式；
（2）運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，和等差數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到．

解答 解：（1）n=1時(shí)，a₁=S₁=2-1=1，
n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-（2-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$）=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
上式對(duì)n=1也成立，
則a_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
（2）T_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n
=（1-1）+（1-2）+…+（1-n）
=$\frac{1}{2}$（0+1-n）n=$\frac{1}{2}$n（1-n）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，考查等差數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，屬于中檔題．