Question

函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx-2的圖象在與y軸交點(diǎn)的切線方程為y=x+a．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+

1

3

mx，若g(x)存在極值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用切點(diǎn)為（0，-2）和f′（0）=1可得a，b，進(jìn)而求出函數(shù)的解析式．
（2）轉(zhuǎn)化為g′（x）=0有實(shí)根．根據(jù)判別式求出對應(yīng)的根，再找函數(shù)的極值即可．

解答：解：（1）由已知可得切點(diǎn)為（0，-2），所以a=-2，
又因?yàn)閒′（x）=3x²+2ax+b，
所以f′（0）=b=1．
所以函數(shù)解析式為f（x）=x³-2x²+x-2．
（2）由（1）可得：g（x）=x³-2x²+x-2+

1

3

mx，
所以g′（x）=3x²-4x+1+

m

3

，令g′（x）=0．
當(dāng)函數(shù)有極值時(shí)，方程3x²-4x+1+

m

3

=0有實(shí)根，即△≥0，
由△=4（1-m）≥0，得m≤1．
①當(dāng)m=1時(shí)，g′（x）=0有實(shí)根x=

2

3

，在x=

2

3

左右兩側(cè)均有g(shù)′（x）＞0，故函數(shù)g（x）無極值．
②當(dāng)m＜1時(shí)，g′（x）=0有兩個(gè)實(shí)根，
x₁=

1

3

（2-

1-m

），x₂=

1

3

（2+

1-m

），
當(dāng)x變化時(shí)，g′（x）、g（x）的變化情況如下表：
故在m∈（-∞，1）時(shí)，函數(shù)g（x）有極值；當(dāng)x=

1

3

（2-

1-m

）時(shí)，g（x）有極大值；當(dāng)x=

1

3

（2+

1-m

） 時(shí)，g（x）有極小值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)函數(shù)來研究函數(shù)的極值．在利用導(dǎo)函數(shù)來研究函數(shù)的極值時(shí)，分三步①求導(dǎo)函數(shù)，②求導(dǎo)函數(shù)為0的根，③判斷根左右兩側(cè)的符號(hào)，若左正右負(fù)，原函數(shù)取極大值；若左負(fù)右正，原函數(shù)取極小值．