已知函數(shù)f（x）對任意x，y∈R，滿足條件f（x）+f（y）=2+f（x+y），且f（3）=5，
（1）求f（1）+f（-1）的值；
（2）若f（x）為R上的增函數(shù)，證明：存在唯一的實數(shù)，使得對任意x∈（0，1），都有f（x2+2t2x）＜3成立．
分析：（1）由f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）-2=[f（1）+f（1）-2]+f（1）-2=3f（1）-4=5解得f（1）=3．f（2）=4．再由f（2）=f[3+（-1）]=f（3）+f（-1）-2=5+f（-1）-2=4．解得f（-1）=1．由此能求出f（1）+f（-1）．
（2）f（x）為R上的增函數(shù)，且對任意x∈（0，1），都有f（x2+2t2x）＜3=f（1），等價于對任意x∈（0，1），都有x2+2t2x＜1，構造函數(shù)y=x2+2t2x，利用導數(shù)能夠進行證明．
解答：（1）解：∵f（x）對任意x，y∈R，滿足條件f（x）+f（y）=2+f（x+y），且f（3）=5，
∴f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）-2=[f（1）+f（1）-2]+f（1）-2=3f（1）-4=5
解得f（1）=3．
∵f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）-2=f（2）+3-2=5，
∴f（2）=4．
∵f（2）=f[3+（-1）]=f（3）+f（-1）-2=5+f（-1）-2=4．
∴f（-1）=1．
∴f（1）+f（-1）=4．
（2）證明：∵f（x）為R上的增函數(shù)，且對任意x∈（0，1），都有f（x2+2t2x）＜3=f（1），
∴對任意x∈（0，1），都有x2+2t2x＜1，
設y=x2+2t2x，
則y′=2x+2t2，
∵x∈（0，1），∴y′=2x+2t2＞0，
∴y=x2+2t2x在（0，1）內是增函數(shù)，
∴y=x2+2t2x的值域為（0，1+2t2），
∵對任意x∈（0，1），都有x2+2t2x＜1，
∴1+2t2≤1，解得t=0．
∴存在唯一的實數(shù)t=0，使得對任意x∈（0，1），都有f（x2+2t2x）＜3成立．
點評：本題考查抽象函數(shù)及其應用，以及利用函數(shù)單調性的定義判斷函數(shù)的單調性，并根據(jù)函數(shù)的單調性解函數(shù)值不等式，體現(xiàn)了轉化的思想，在轉化過程中一定注意函數(shù)的定義域．解決抽象函數(shù)的問題一般應用賦值法．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex，直線l的方程為y=kx+b．
（1）求過函數(shù)圖象上的任一點P（t，f（t））的切線方程；
（2）若直線l是曲線y=f（x）的切線，求證：f（x）≥kx+b對任意x∈R成立；
（3）若f（x）≥kx+b對任意x∈[0，+∞）成立，求實數(shù)k、b應滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠離m．
（1）若x2-1比1遠離0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a3+b3比a2b+ab2遠離2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D={{x|x≠
kπ
2
+
π
4
，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中遠離0的那個值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的基本性質（結論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調性（結論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
ex
ex+1
．
（Ⅰ）證明函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（0，
1
2
）對稱；
（Ⅱ）設y=f-1(x)為y=f(x)的反函數(shù)，令g(x)=f-1(
x+1
x+2
)，是否存在實數(shù)b，使得任給a∈[
1
4
，
1
3
]，對任意x∈(0，+∞)．不等式g(x)＞x-ax2+b恒成立？若存在，求b的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•海淀區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=
1，x∈Q
0，x∈CRQ
，則f（f（x））=
1
1

下面三個命題中，所有真命題的序號是
①②③
①②③
．
①函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
②任取一個不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對x∈R恒成立；
③存在三個點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC為等邊三角形．

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