Question

【題目】如圖，在幾何體P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PAB ，四邊形ABCD為矩形，△PAB為正三角形，若AB＝2，AD＝1，E，F(xiàn) 分別為AC，BP中點(diǎn)．

（1）求證：EF∥平面PCD；

（2）求直線DP與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)證明；(2)

【解析】

(1)根據(jù)EF是△BDP的中位線可知EF∥DP，即可利用線線平行得出線面平行；(2) 取AB中點(diǎn)O,連接PO，DO，可證明∠PDO為DP與平面ABCD所成角，在Rt△DOP中求解即可.

(1)因?yàn)镋為AC中點(diǎn)，所以DB與AC交于點(diǎn)E．

因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AC，BP中點(diǎn)，所以EF是△BDP的中位線，

所以EF∥DP．又DP平面PCD，EF平面PCD，所以EF∥平面PCD．

(2)取AB中點(diǎn)O,連接PO，DO

∵△PAB為正三角形，∴PO⊥AB，

又∵平面ABCD⊥平面PAB

∴PO⊥平面ABCD,∴DP在平面ABCD內(nèi)的射影為DO，

∠PDO為DP與平面ABCD所成角，

在Rt△DOP中，sin∠PDO=,

∴直線DP與平面ABCD所成角的正弦值為