Question

某廣告公司為2010年上海世博會設(shè)計了一種霓虹燈，樣式如圖中實線部分所示．其上部分是以AB為直徑的半圓，點O為圓心，下部分是以AB為斜邊的等腰直角三角形，DE，DF是兩根支桿，其中AB=2米，∠EOA=∠FOB=2x（0＜x＜

π

4

）．現(xiàn)在弧EF、線段DE與線段DF上裝彩燈，在弧AE、弧BF、線段AD與線段BD上裝節(jié)能燈．若每種燈的“心悅效果”均與相應(yīng)的線段或弧的長度成正比，且彩燈的比例系數(shù)為2k，節(jié)能燈的比例系數(shù)為k（k＞0），假定該霓虹燈整體的“心悅效果”y是所有燈“心悅效果”的和．
（1）試將y表示為x的函數(shù)；
（2）試確定當(dāng)x取何值時，該霓虹燈整體的“心悅效果”最佳．

Answer 1

分析：（1）由題意知，建立三角函數(shù)模型，根據(jù)所給的條件看出要用的三角形的邊長和角度，用余弦定理寫出要求的邊長，表述出函數(shù)式，整理變化成最簡的形式，得到結(jié)果．
（2）要求函數(shù)的單調(diào)性，對上一問整理的函數(shù)式求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單增區(qū)間和單減區(qū)間，看出變量x取到的結(jié)果．

解答：解：（1）∵∠EOA=∠FOB=2x，
∴弧EF、AE、BF的長分別為π-4x，2x，2x
連接OD，則由OD=OE=OF=1，
∠FOD=∠EOD=2x+

π

2

∴DE=DF=

1+1-2cos(2x+ π 2 )

=

2+2sin2x

=

2

(sinx+cosx)，
∴y=2k(2

2

(sinx+cosx)+π-4x)+k(2

2

+4x)
=2k(2

2

(sinx+cosx)-2x+

2

+π)；
（2）∵由y′=4k(

2

(cosx-sinx)-1)=0，
解得cos(x+

π

4

)=

1

2

，
即x=

π

12

，
又當(dāng)x∈(0，

π

12

)時，y'＞0，此時y在(0，

π

12

)上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈(

π

12

，

π

4

)時，y'＜0，此時y在(

π

12

，

π

4

)上單調(diào)遞減．
故當(dāng)x=

π

12

時，該霓虹燈整體的“心悅效果”最佳．

點評：本題是一道難度較大的題，表現(xiàn)在以下幾個方面第一需要自己根據(jù)條件建立三角函數(shù)模型寫出解析式，再對解析式進(jìn)行整理運算，得到函數(shù)性質(zhì)，這是一個綜合題，解題的關(guān)鍵是讀懂題意．