Question

5．已知點(diǎn)A（4，8）關(guān)于直線l₁：x+y=4的對稱點(diǎn)B在拋物線C：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線上．
（1）求拋物線C的方程；
（2）直線l₂與x軸交于點(diǎn)D，與拋物線C交于E、F兩點(diǎn)． 是否存在定點(diǎn)D，使得$\frac{1}{{D{E^2}}}+\frac{1}{{D{F^2}}}$為定值？若存在，請指出點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求出該定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)B（m，n），則$\left\{\begin{array}{l}\frac{n-8}{m-4}=1\\ \frac{m+4}{2}+\frac{n+8}{2}=4\end{array}\right.$，解得p值，可得拋物線C的方程；
（2）設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），l₂：x=sy+t，聯(lián)立拋物線方程并整理得：y²-16sy-16t=0．結(jié)合韋達(dá)定理可得$\frac{1}{{D{E^2}}}+\frac{1}{{D{F^2}}}$=$\frac{1}{{t}^{2}}$+$\frac{t-8}{8{t}^{2}（{s}^{2}+1）}$，所以t=8時，存在定點(diǎn)D（8，0），使得$\frac{1}{{D{E^2}}}+\frac{1}{{D{F^2}}}$為定值$\frac{1}{64}$．

解答 解：（1）設(shè)B（m，n），
則$\left\{\begin{array}{l}\frac{n-8}{m-4}=1\\ \frac{m+4}{2}+\frac{n+8}{2}=4\end{array}\right.$
∴$m=-4，n=0，-\frac{p}{2}=-4，p=8$，
所以拋物線C的方程為y²=16x．
 （2）設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），l₂：x=sy+t，
由$\left\{\begin{array}{l}x=sy+t\\{y^2}=16x\end{array}\right.得{y^2}-16sy-16t=0$．
其中△=（16s）²+64t＞0，則y₁+y₂=16s，y₁y₂=-16t，
$\frac{1}{{D{E^2}}}+\frac{1}{{D{F^2}}}$=$\frac{1}{（{x}_{1}-t）^{2}+{y}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{（{x}_{2}-t）}^{2}+{y}_{2}^{2}}$=$\frac{1}{（{s}^{2}+1）{y}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{（{s}^{2}+1）{y}_{2}^{2}}$=$\frac{{y}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}}{（{s}^{2}+1）{y}_{1}^{2}{y}_{2}^{2}}$=$\frac{{（{y}_{1}^{\;}+{y}_{2}^{\;}）}^{2}-{2y}_{1}{y}_{2}}{（{s}^{2}+1）{y}_{1}^{2}{y}_{2}^{2}}$=$\frac{8{s}^{2}+t}{8{t}^{2}（{s}^{2}+1）}$=$\frac{1}{{t}^{2}}$+$\frac{t-8}{8{t}^{2}（{s}^{2}+1）}$，
所以t=8時，存在定點(diǎn)D（8，0），使得$\frac{1}{{D{E^2}}}+\frac{1}{{D{F^2}}}$為定值$\frac{1}{64}$．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是拋物線的簡單性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，難度中檔．