Question

已知以F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）為焦點(diǎn)的橢圓與直線x+

3

y+4=0有且僅有一個交點(diǎn)，求橢圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）．與直線方程聯(lián)立化為(a2+3b2)y2+8

3

b2y+16b²-a²b²=0，
由于橢圓與直線x+

3

y+4=0有且僅有一個交點(diǎn)，可得△=0，又a²=b²+4，聯(lián)立解得即可．

解答： 解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）．
聯(lián)立

x+ 3 y+4=0 x2 a2 + y2 b2 =1

，化為(a2+3b2)y2+8

3

b2y+16b²-a²b²=0，
∵橢圓與直線x+

3

y+4=0有且僅有一個交點(diǎn)，
∴△=0，化為a²+3b²=16，
又a²=b²+4，聯(lián)立

a2=b2+4 a2+3b2=16

，解得

a2=7 b2=3

．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

7

+

y2

3

=1．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了直線與橢圓相切問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△=0，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．