Question

已知f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0，且a≠1）
（1）求其定義域；
（2）解方程f（2x）=f^-1（x）．

Answer 1

（1）由已知條件，知a^x-1＞0，即a^x＞1．
故當(dāng)a＞1時(shí)，x＞0，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x＜0．
即當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，0）．
（2）令y=loh_a（a^x-1），同a^y=a^x-1，
x=log_a（a^y+1），即f^-1（x）=log_a（a^x+1）．
∵f（2x）=f^-1（x），∴l(xiāng)og_a（a^2x-1）=log_a（a^x+1），
即a^2x-1=a^x+1．
∴（a^x）²-a^x-2=0．
∴a^x=2，或a^x=-1（舍去）．
∴x=log_a2．