四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB=60°，側(cè)棱PA=PC=2
3
，PB=
10
．M，N兩點(diǎn)分別在側(cè)棱PB，PD上，
|PM|
|MB|
=
|PN|
|ND|
=2
（1）求證：PA⊥平面MNC．
（2）求平面NPC與平面MNC的夾角的余弦值．
考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線(xiàn)與平面垂直的判定
專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（1）先證明PO⊥平面ABCD，建立空間直角坐標(biāo)系，證明
AP
∥
n
，即可得出PA⊥平面MNC．
（2）求出平面NPC與平面MNC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求出夾角的余弦值．
解答： （1）證明：設(shè)菱形對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)O，則PO⊥AC且|PO|=3
又|PB|=
10
，|OB|=1．
由勾股定理知，PO⊥BD
又∵AC，BD⊆面ABCD，AC∩BD=O，
∴PO⊥平面ABCD…（3分）
建立如圖空間直角坐標(biāo)系，O（0，0，0），P（0，0，3），B（1，0，0），A(0，-
3
，0)，C(0，
3
，0)，D（-1，0，0），M(
2
3
，0，1)，N(-
2
3
，0，1)…（5分）
∵
AP
=(0，
3
，3)，平面MNC的法向量
m
=(0，1，
3
)，
∴
AP
∥
n
，
∴AP⊥平面MNC…（8分）
（2）解：設(shè)面NPC的法向量為
n
=(x，y，z)．
∵
NP
=（
2
3
，0，2），
CP
=（0，-
3
，3），
由
n
•
NP
=0，
n
•
CP
=0，可得
2
3
x+2z=0
-
3
y+3z=0
，
取z=1，得
n
=(-3，
3
，1)…（10分）
∴cos?
m
，
n
＞=
m
•
n
|
m
||
n
|
=
39
13

∴平面NPC與平面MNC的夾角的余弦值為
39
13
．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查線(xiàn)面垂直，考查面面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于這道題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列說(shuō)法正確的是（　�。�
A、某個(gè)班級(jí)年齡較小的同學(xué)組成一個(gè)集合
B、集合{1，2，3}與{3，2，1}表示不同集合
C、2008北京奧運(yùn)會(huì)的所有比賽項(xiàng)目組成一個(gè)集合
D、由實(shí)數(shù)x，-x，|x|，
x2
，-
3x3
所構(gòu)成的集合最多含有3個(gè)元素

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓4x2+y2=1，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）設(shè)橢圓在第一象限的部分曲線(xiàn)為C，動(dòng)點(diǎn)P在C上，C在點(diǎn)P處的切線(xiàn)與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為G、H，以O(shè)G、OH為鄰邊作平行四邊形OGMH，求點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）若橢圓與x軸y軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，直線(xiàn)y=kx（k＞0）與橢圓交于R、S兩點(diǎn)，求四邊形ARBS面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在學(xué)習(xí)完統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)后，兩位同學(xué)對(duì)所在年級(jí)的1200名同學(xué)一次數(shù)學(xué)考試成績(jī)作抽樣調(diào)查，兩位同學(xué)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法抽取100名學(xué)生的成績(jī)，并將所選的數(shù)學(xué)成績(jī)制成如統(tǒng)計(jì)表，設(shè)本次考試的最低期望分?jǐn)?shù)為90分，優(yōu)等生最低分130分，并且考試成績(jī)分?jǐn)?shù)在[85，90）的學(xué)生通過(guò)自身努力能達(dá)到最低期望分?jǐn)?shù)．
（Ⅰ）求出各分?jǐn)?shù)段的頻率并作出頻率分布直方圖；
（Ⅱ）用所抽學(xué)生的成績(jī)?cè)诟鱾�(gè)分?jǐn)?shù)段的頻率表示概率，請(qǐng)估計(jì)該校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)到最低期望的學(xué)生分?jǐn)?shù)和優(yōu)等生人數(shù)；
（Ⅲ）設(shè)考試成績(jī)?cè)赱85，90）的學(xué)生成績(jī)?nèi)缦拢?0，81，83，84，86，89，從分?jǐn)?shù)在[85，90）的學(xué)生中抽取2人出來(lái)檢查數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握情況，記所抽取學(xué)生中通過(guò)自身努力達(dá)到最低期望分?jǐn)?shù)的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望．
分?jǐn)?shù)段 [70，80） [80，90） [90，100） [100，110） [110，120） [120，130） [130，140） [140，150）
人數(shù) 9 6 12 18 21 16 12 6
頻率

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)非零平面向量
m
，
n
，θ=（
m
，
n
），規(guī)定
m
?
n
=|
m
|×|
n
|sinθ．F1，F(xiàn)2是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是其上的頂點(diǎn)，右頂點(diǎn)，且
OM
?
ON
=6
2
，離心率e=
1
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F2的直線(xiàn)交橢圓C于點(diǎn)A，B，求：
OA
?
OB
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=asinx+bx的圖象在點(diǎn)(
π
3
，f(
π
3
))處的切線(xiàn)方程為x+2y-
3
+
π
3
=0．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）當(dāng)0＜x＜
π
2
時(shí)，f（x）＞（m-1）x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，A、B是橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的兩個(gè)頂點(diǎn)，它的短軸長(zhǎng)為1，其一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）若直線(xiàn)y=kx（k＞0）與橢圓相交于R、S兩點(diǎn)．求四邊形ARBS面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

求函數(shù)y=（
1
4
）x+（
1
2
）x+1的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=|2x-m|（m為常數(shù)），對(duì)任意的x∈R，f（x+3）=f（-x）恒成立．
有下列四種說(shuō)法：
①m=3；     ②f（x）是偶函數(shù)；
③若函數(shù)g（x）=f（x）+|2x-b|（b為常數(shù)）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，則b=1；
④已知定義在R上的函數(shù)h（x）對(duì)任意x均有h（x）=h（-x）成立，且當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，h（x）=f（x）；又函數(shù)φ（x）=-x2+c（c為常數(shù)），若存在x1，x2∈[-1，3]使得|h（x1）-φ（x2）|＜1成立，則c的取值范圍是（-1，13），其中說(shuō)法正確的
 
．

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