Question

已知函數(shù)f(x)＝e^x＋ax，g(x)＝e^xlnx.(e≈2.718 28…)．

(1)設曲線y＝f(x)在x＝1處的切線與直線x＋(e－1)y＝1垂直，求a的值；

(2)若對于任意實數(shù)x≥0，f(x)>0恒成立，試確定實數(shù)a的取值范圍；

(3)當a＝－1時，是否存在實數(shù)x₀∈[1，e]，使曲線C：y＝g(x)－f(x)在點x＝x₀處的切線與y軸垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解析　(1)由題知，f′(x)＝e^x＋a.

因此曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線l的斜率為e＋a，

又直線x＋(e－1)y＝1的斜率為，

∴(e＋a)＝－1.∴a＝－1.

(2)∵當x≥0時，f(x)＝e^x＋ax>0恒成立，

∴若x＝0，a為任意實數(shù)，f(x)＝e^x＋ax>0恒成立．

若x>0，f(x)＝e^x＋ax>0恒成立，

即當x>0時，a>－恒成立．

設Q(x)＝－.Q′(x)＝－＝.

當x∈(0,1)時，Q′(x)>0，則Q(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

當x∈(1，＋∞)時，Q′(x)<0，則Q(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．

∴當x＝1時，Q(x)取得最大值．

Q(x)_max＝Q(1)＝－e.

∴要使x≥0時，f(x)>0恒成立，a的取值范圍為(－e，＋∞)．

(3)依題意，曲線C的方程為y＝e^xlnx－e^x＋x.

令M(x)＝e^xlnx－e^x＋x，

∴M′(x)＝＋e^xlnx－e^x＋1＝(＋lnx－1)e^x＋1.

設h(x)＝＋lnx－1，則h′(x)＝－＋＝.

當x∈[1，e]時，h′(x)≥0.

故h(x)在[1，e]上為增函數(shù)，因此h(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值為h(1)＝ln1＝0.

所以h(x)＝＋lnx－1≥0.

當x₀∈[1，e]時，.

∴.

曲線y＝e^xlnx－e^x＋x在點x＝x₀處的切線與y軸垂直等價于方程M′(x₀)＝0在x∈[1，e]上有實數(shù)解．

而M′(x₀)>0，即方程M′(x₀)＝0無實數(shù)解．

故不存在實數(shù)x₀∈[1，e]，使曲線y＝M(x)在點x＝x₀處的切線與y軸垂直．