Question

10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A（-3，0）及B（3，0），動(dòng)點(diǎn)Q到點(diǎn)A的距離為10，線段BQ的垂直平分線交AQ于點(diǎn)P．
（Ⅰ）求|PA|+|PB|的值；      
（Ⅱ）求點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線段中垂線的性質(zhì)可得|PA|+|PB|的值；      
（Ⅱ）據(jù)橢圓的定義判斷軌跡橢圓，求出a、b值，即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：（Ⅰ）∵線段BQ的垂直平分線交AQ于點(diǎn)P，
∴|PB|=|PQ|，
∴|PA|+|PB|=|PA|+|PQ|=|AQ|=10；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知|PA|+|PB|=10（常數(shù)），又|PA|+|PB|=10＞6=|AB|，
∴點(diǎn)P的軌跡是中心在原點(diǎn)，以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓，其中2a=10，2c=6，
∴橢圓的軌跡方程為$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得出|PA|+|PB|=10＞6=|AB|，是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．