Question

已知橢圓C：．
（1）若橢圓的長軸長為4，離心率為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在（1）的條件下，設(shè)過定點M（0，2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意，2a=4，e==，∴a=2，c=
∴b==1
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）顯然直線x=0不滿足條件，可設(shè)直線l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
直線代入橢圓方程，消去y可得（1+4k²）x²+16kx+12=0
∵△=（16k）²-4×12×（1+4k²）＞0，∴k＜-或k＞
x₁+x₂=-，x₁x₂=
∴y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=
由于∠AOB為銳角，x₁x₂+y₁y₂＞0，∴
∴2＜k＜2
∴直線L的斜率的取值范圍是（-2，-）∪（，2）
分析：（1）利用橢圓的長軸長為4，離心率為，求得幾何量，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，及∠AOB為銳角，建立不等式，即可求得直線l的斜率k的取值范圍．
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．