Question

已知偶函數(shù)f（x）=Asin（2x+φ）+b（A＞0，0＜φ＜π）的最大值是3，最小值為-1
（1）求A、b、φ的值；
（2）求函數(shù)y=f（x+

π

4

）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由函數(shù)為偶函數(shù)取特值列式求φ的值，再由函數(shù)的最值列方程組求得A，b的值；
（2）把（1）中求得的值代入函數(shù)解析式，進(jìn)一步得到函數(shù)y=f（x+

π

4

）的解析式，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求
函數(shù)y=f（x+

π

4

）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=Asin（2x+φ）+b為偶函數(shù)，
∴f(-

π

4

)=f(

π

4

)，
即Asin[2×（-

π

4

）+φ]+b=Asin[2×（

π

4

）+φ]+b，
∴sin（-

π

2

+φ）=sin（

π

2

+φ），
即-cosφ=cosφ，∴cosφ=0，∵0＜φ＜π，∴φ=

π

2

．
又函數(shù)f（x）=Asin（2x+φ）+b（A＞0，0＜φ＜π）的最大值是3，最小值為-1，
∴

A+b=3 -A+b=-1

，解得：A=2，b=1．
∴A、b、φ的值分別為：2，1，

π

2

；
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+

π

2

）+1=2cos2x+1．
∴函數(shù)y=f（x+

π

4

）=2cos2（x+

π

4

）+1=2cos（2x+

π

2

）+1=-2sin2x+1
由

π

2

+2kπ≤2x≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，得

π

4

+kπ≤x≤

3π

4

+kπ，k∈Z．
∴函數(shù)y=f（x+

π

4

）的單調(diào)遞增區(qū)間為[

π

4

+kπ，

3π

4

+kπ]，k∈Z．

點評：本題考查y=Asin（ωx+φ）+b型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，訓(xùn)練了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求法，是中檔題．