Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，PA=AD=2，AC=1．
（Ⅰ）證明PC⊥AD；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值．

Answer 1

解：（I）以、、為x、y、z正半軸方向，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz…（1分）
則D（2，0，0），C（0，1，0），P（0，0，2）…（3分）
∴=（0，1，-2），=（2，0，0），
可得•=0×2+1×0+（-2）×0=0，
∴⊥，即PC⊥AD；…（6分）
（II）=（0，1，-2），=（2，-1，0），
設(shè)平面PCD的一個法向量=（x，y，z）．
則，取z=1，得=（1，2，1）…（10分）
∵是平面PAC的法向量…（11分）
∴cos＜，＞==，可得sin＜，＞=
得：二面角A-PC-D的正弦值為…（13分）
分析：（I）以、、為x、y、z正半軸方向，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz如圖．得出D、C、P各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出=（0，1，-2），=（2，0，0），再計(jì)算•=0，可得⊥，即PC⊥AD；
（II）利用垂直向量數(shù)量積為零的方法，建立方程組并解之，可得平面PCD的一個法向量=（1，2，1），結(jié)合=（2，0，0）是平面PAC的法向量，算出，夾角的余弦，即為二面角A-PC-D的余弦之值．最后用同角三角函數(shù)關(guān)系，不難得出二面角A-PC-D的正弦值．
點(diǎn)評：本題給出四棱錐，求證線線垂直并求二面角的大小，著重考查了直線與平面垂直的性質(zhì)、用空間向量求平面間的夾角等知識，屬于中檔題．