Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明：；
（Ⅲ）設(shè)，且，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）2ⁿ⁺¹a_n+1-2ⁿa_n=n，令b_n=2ⁿ⁺¹a_n+1-2ⁿa_n，得2ⁿa_n=2a₁+b₁+b₂+…+b_n-1=，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由，可得，2ⁿ⁺¹=（1+1）ⁿ⁺¹=1+C_n+1¹+C_n+1²+…+C_n+1^n-1+C_n+1ⁿ⁺¹，所以2ⁿ⁺¹＞n²+2n+2，由此能證明．
（Ⅲ），欲證：．，即證，即ln（1+T_n）-T_n＜0．構(gòu)造函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x，借助導(dǎo)數(shù)能夠證明．
解答：解：（Ⅰ）∵2ⁿ⁺¹a_n+1-2ⁿa_n=n
令b_n=2ⁿ⁺¹a_n+1-2ⁿa_n，∴2ⁿa_n=2a₁+b₁+b₂+…+b_n-1=，
∴，又a₁=1成立∴（4分）
（Ⅱ）∵，∴
又當(dāng)n≥2時(shí)，2ⁿ⁺¹=（1+1）ⁿ⁺¹=1+C_n+1¹+C_n+1²+…+C_n+1^n-1+C_n+1ⁿ⁺¹
∴2ⁿ⁺¹＞1+C_n+1¹+2C_n+1²，∴2ⁿ⁺¹＞n²+2n+2，而
∴，又a₁=1
故（9分）
（Ⅲ）
欲證：．，即證，即ln（1+T_n）-T_n＜0．
構(gòu)造函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x（x≥0），，
∴f（x）在[0，+∞）上為減函數(shù)，f（x）的最大值為f（0）=0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，∴l(xiāng)n（1+T_n）-T_n＜0
故不等式．成立．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．