Question

6．已知拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點O，對稱軸為x軸，焦點為F，拋物線上一點A的橫坐標(biāo)為2，且$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{OA}=10$．
（Ⅰ）求此拋物線C的方程；
（Ⅱ）過點（4，0）做直線l交拋物線C于A，B兩點，求證：OA⊥OB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)拋物線C：y²=2px（p＞0），點A（2，y₀），代入拋物線方程，運用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計算即可求得p=2，進(jìn)而得到拋物線方程；
（Ⅱ）討論當(dāng)直線l斜率不存在時，求出A，B坐標(biāo)，可得OA⊥OB；當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)l：y=k（x-4），聯(lián)立拋物線方程，運用韋達(dá)定理，結(jié)合向量垂直的條件，化簡整理即可得證．

解答 （Ⅰ）解：設(shè)拋物線C：y²=2px（p＞0），點A（2，y₀），
則有${y_0}^2=4p$，
∵$F（\frac{p}{2}，0）$，∴$\overrightarrow{FA}=（2-\frac{p}{2}，{y_0}），\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{OA}=4-p+{y_0}^2=4+3p=10$，
∴p=2，
所以拋物線C的方程為y²=4x；
（Ⅱ）證明：當(dāng)直線l斜率不存在時，此時l：x=4，
解得A（4，4），B（4，-4），
滿足$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，∴OA⊥OB；
當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)l：y=k（x-4），
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=k（x-4）\end{array}\right.⇒{k^2}{x^2}-（8{k^2}+4）x+16{k^2}=0$，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}+4}}{k^2}，{x_1}{x_2}=16$，
則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂-4k²（x₁+x₂）+16k²
=16（1+k²）-32k²-16+16k²=0，
即有OA⊥OB．
綜上，OA⊥OB成立．

點評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查拋物線的方程的運用，以及直線和拋物線方程聯(lián)立，運用韋達(dá)定理，同時考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，和向量垂直的條件，屬于中檔題．