Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（0，1）且離心率為

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若斜率為1的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=

8

5

，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出b=1，

c

a

=

3

2

，a²=b²+c²，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l：y=x+m，由

y=x+m x2+4y2=4

，得：5x²+8mx+4m²-4=0，由此利用橢圓弦長(zhǎng)公式能求出直線方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（0，1）且離心率為

3

2

．
∴b=1，

c

a

=

3

2

，a²=b²+c²，解得a²=4，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l：y=x+m
由

y=x+m x2+4y2=4

，得：5x²+8mx+4m²-4=0
則x1+x2=-

8m

5

，x1x2=

4m2-4

5

，
則|AB|=

1+12

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

64 25 m2- 16m2-16 5

=

8

5

，
解得m=±

3

，又直線y=x±

3

與C有兩個(gè)交點(diǎn)．
故直線l的方程為y=x±

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．