Question

20．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ABB₁A₁是矩形，∠BAC=90°，AA₁⊥BC，AA₁=AC=2AB=4，且BC₁⊥A₁C
（1）求證：平面ABC₁⊥平面A₁ACC₁
（2）設D是A₁C₁的中點，判斷并證明在線段BB₁上是否存在點E，使DE∥平面ABC₁，若存在，求點E到平面ABC₁的距離．

Answer 1

分析 （1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，由側(cè)面ABB₁A₁是矩形，可得AA₁⊥AB，又AA₁⊥BC，可得AA₁⊥平面ABC，得到AA₁⊥AC，進一步有A₁C⊥AC₁，結(jié)合BC₁⊥A₁C，可得A₁C⊥平面ABC₁，由面面垂直的判定得平面ABC₁⊥平面A₁ACC₁ ；
（2）當E為BB₁的中點時，連接AE，EC₁，DE，取AA₁的中點F，連接EF，F(xiàn)D，由面面平行的判定和性質(zhì)可得DE∥平面ABC₁，咋愛優(yōu)等體積法可求點E到平面ABC₁的距離為．

解答 （1）證明：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ABB₁A₁是矩形，
∴AA₁⊥AB，又AA₁⊥BC，AB∩BC=B，
∴AA₁⊥平面ABC，
∴AA₁⊥AC，又AA₁=AC，∴A₁C⊥AC₁，
又BC₁⊥A₁C，BC₁∩AC₁=C₁，
∴A₁C⊥平面ABC₁，又A₁C?平面A₁ACC₁，
∴平面ABC₁⊥平面A₁ACC₁ ；
（2）解：當E為BB₁的中點時，連接AE，EC₁，DE，
如圖，取AA₁的中點F，連接EF，F(xiàn)D，
∵EF∥AB，DF∥AC₁，
又EF∩DF=F，AB∩AC₁=A，
∴平面EFD∥平面ABC₁，又DE?平面EFD，
∴DE∥平面ABC₁，
又∵${V}_{E-AB{C}_{1}}={V}_{{C}_{1}-ABE}$，C₁A₁⊥平面ABE，
設點E到平面ABC₁ 的距離為d，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×4\sqrt{2}×d=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×4$，得d=$\sqrt{2}$，
∴點E到平面ABC₁的距離為$\sqrt{2}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的判定，考查了空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．