Question

6．設(shè)函數(shù)f （x）=（x+1）lnx-a （x-1）在x=e處的切線與y軸相交于點(diǎn)（0，2-e）．
（1）求a的值；
（2）函數(shù)f （x）能否在x=1處取得極值？若能取得，求此極值；若不能，請(qǐng)說明理由．
（3）當(dāng)1＜x＜2時(shí)，試比較$\frac{2}{x-1}$與$\frac{1}{lnx}-\frac{1}{ln（2-x）}$大�。�

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，運(yùn)用兩點(diǎn)的斜率公式，計(jì)算化簡(jiǎn)即可得到a=2；
（2）函數(shù)f （x）不能在x=1處取得極值．求出導(dǎo)數(shù)，討論x＞1，0＜x＜1函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論；
（3）當(dāng)1＜x＜2時(shí)，$\frac{2}{x-1}$＞$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{ln（2-x）}$．運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和不等式的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）f′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1-a，
依題設(shè)得 $\frac{f（e）-（2-e）}{e-0}$=f′（e），即
e+1-a（e-1）-（2-e）=e$（{1+\frac{1}{e}+1-a}）$，
解得a=2；
（2）函數(shù)f （x）不能在x=1處取得極值．
因?yàn)閒′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，記g（x）=ln x+$\frac{1}{x}$-1，則g′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$．
①當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，所以g（x）在（1，+∞）是增函數(shù)，
所以g（x）＞g（1）=0，所以f′（x）＞0；
②當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）是減函數(shù)，
所以g（x）＞g（1）=0，即有f′（x）＞0．
由①②得f （x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
所以x=1不是函數(shù)f （x）極值點(diǎn)．
（3）當(dāng)1＜x＜2時(shí)，$\frac{2}{x-1}$＞$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{ln（2-x）}$．
證明如下：由（2）得f （x）在（1，+∞）為增函數(shù)，
所以當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞f （1）=0．
即（x+1）lnx＞2（x-1），所以 $\frac{1}{lnx}$＜$\frac{x+1}{2（x-1）}$．①
因?yàn)?＜x＜2，所以0＜2-x＜1，$\frac{1}{2-x}$＞1，所以$\frac{1}{ln\frac{1}{2-x}}$＜$\frac{\frac{1}{2-x}+1}{2（\frac{1}{2-x}-1）}$=$\frac{3-x}{2（x-1）}$，
即-$\frac{1}{ln（2-x）}$＜$\frac{3-x}{2（x-1）}$．②
①+②得 $\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{ln（2-x）}$＜$\frac{x+1}{2（x-1）}$+$\frac{3-x}{2（x-1）}$=$\frac{2}{x-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和極值，同時(shí)考查不等式的大小比較，注意運(yùn)用單調(diào)性和不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．