Question

19．偶函數(shù)y=f（x）滿足下列條件①x≥0時，f（x）=x³；②對任意x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≥8f（x）恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-$\frac{3}{4}$]
• B． [-$\frac{3}{4}，0$]
• C． [-2，$\frac{3}{4}$]
• D． [-$\frac{4}{3}，1$]

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）為偶函數(shù)便可得到f（|x+t|）≥8f（|x|），從而有|x+t|³≥8|x|³，從而得到|x+t|≥2|x|，兩邊平方便有（x+t）²≥4x²，經(jīng)整理便可得到3x²-2tx-t²≤0在[t，t+1]上恒成立，這樣只需3（t+1）²-2t（t+1）-t²≤0，解該不等式即可得出實數(shù)t的取值范圍．

解答 解：根據(jù)條件得：f（|x+t|）≥8f（|x|）；
∴（|x+t|）³≥8（|x|）³；
∴（|x+t|）³≥（2|x|）³；
∴|x+t|≥2|x|；
∴（x+t）²≥4x²；
整理得，3x²-2tx-t²≤0在[t，t+1]上恒成立；
設(shè)g（x）=3x²-2tx-t²，g（t）=0；
∴g（t+1）=3（t+1）²-2t（t+1）-t²≤0；
解得t$≤-\frac{3}{4}$；
∴實數(shù)t的取值范圍為（-∞，-$\frac{3}{4}$]．
故選：A．

點評 考查偶函數(shù)的定義，y=x³的單調(diào)性，不等式的性質(zhì)，并需熟悉二次函數(shù)的圖象．