Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax-1
（Ⅰ）若a=1時(shí)，求f（x）在R上的值域；
（Ⅱ）求f（x）在[0，2]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)的值域

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）配方，求f（x）在R上的值域；
（Ⅱ）先配方得到函數(shù)的對(duì)稱軸為x=a，將對(duì)稱軸移動(dòng)，討論對(duì)稱軸與區(qū)間[0，2]的位置關(guān)系，合理地進(jìn)行分類，從而求得函數(shù)的最小值．

解答： 解：（I）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²-2x-1=（x-1）²-2
∴f（x）的值域?yàn)閇-2，+∞）；
（Ⅱ）∵y=（x-a）²-a²-1
∴a＜0時(shí)，在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，故y_min=-1；
0≤a≤2時(shí)，在對(duì)稱軸處取最小值，故y_min=-a²-1；
a＞2時(shí)，在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，故y_min=（2-a）²-a²-1=3-4a，
綜合可得，a＜0時(shí)，y_min=-1，0≤a≤2時(shí)，y_min=-a²-1，a＞2時(shí)，y_min=3-4a．

點(diǎn)評(píng)：配方求得函數(shù)的對(duì)稱軸是解題的關(guān)鍵．由于對(duì)稱軸所含參數(shù)不確定，而給定的區(qū)間是確定的，這就需要分類討論．利用函數(shù)的圖象將對(duì)稱軸移動(dòng)，合理地進(jìn)行分類，從而求得函數(shù)的最值，當(dāng)然應(yīng)注意若求函數(shù)的最大值，則需按中間偏左、中間偏右分類討論．