已知橢圓的左右焦點為F1,F(xiàn)2,離心率為,以線段F1 F2為直徑的圓的面積為π.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線l過橢圓的右焦點F2(l不垂直坐標軸),且與橢圓交于A、B兩點,線段AB的垂直平分線交x軸于點M(m,0),試求m的取值范圍.
【答案】分析:(1)根據(jù)離心率為,以線段F1 F2為直徑的圓的面積為π,可求得a=,c=1,從而b2=1,故可求橢圓方程;
(2)設(shè)出直線l的方程代入橢圓方程,從而求出線段AB的垂直平分線方程,令y=0,可得m的函數(shù)關(guān)系式,進而可求m的取值范圍.
解答:解:(1)由離心率為得:=
又由線段F1 F2為直徑的圓的面積為π得:πc2=π,c2=1       ②…(2分)
由①,②解得a=,c=1,∴b2=1,∴橢圓方程為…(5分)
(2)由題意,F(xiàn)2(1,0),設(shè)l的方程為:y=k(x-1)(k≠0),代入橢圓方程為
整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點為(x,y),則
,
∴線段AB的垂直平分線方程為
令y=0,得m=x+ky=
由于,
.…(13分)
點評:本題考查橢圓的標準方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,解題的關(guān)鍵是確定線段AB的垂直平分線方程,屬于中檔題.
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(Ⅰ)求拋物線C的方程和點M的坐標;

(Ⅱ)過F2作拋物線C的兩條互相垂直的弦AB、DE,設(shè)弦AB、DE的中點分別為F、N,求證直線FN恒過定點;

 

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已知橢圓的左右焦點為F1,F(xiàn)2,點P-在橢圓上,若P,F(xiàn)1,F(xiàn)2是一個直角三角形的三個頂點,則點P到x軸的距離是                                                      (    )

       A.                    B.3                        C.                      D.

 

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