Question

12．?dāng)?shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$，則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S${\;}_{{n}_{\;}}$等于（　�。�

• A． $\frac{5}{2}$-$\frac{2n+5}{{2}^{n+1}}$
• B． 5-$\frac{2n+5}{{2}^{n}}$
• C． $\frac{2n+1}{{2}^{n}}+1$
• D． $\frac{2n+5}{{2}^{n}}$-1

Answer 1

分析 根據(jù)通項(xiàng)公式為b_n的特點(diǎn)，利用錯(cuò)位相減法和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出S_n．

解答 解：由題意得，b_n=$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$，
則S_n=$\frac{3}{{2}^{1}}+\frac{5}{{2}^{2}}+\frac{7}{{2}^{3}}…+\frac{2n+1}{{2}^{n}}$，①
$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{3}{{2}^{2}}+\frac{5}{{2}^{3}}+\frac{7}{{2}^{4}}…+\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$，②
①-②得，$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{3}{2}$+2（$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$）-$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{3}{2}$+2×$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{5}{2}-\frac{2n+5}{{2}^{n+1}}$，
所以S_n=5-$\frac{2n+5}{{2}^{n}}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，以及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查化簡(jiǎn)、變形能力．