【題目】已知幾何體中，，，，面，，.

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角E－BD－F的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由勾股定理逆定理證得，再由已知得平面，，從而有線面垂直，得面面垂直；

（2）分別以DA、DC所在直線為軸、軸，以D為垂足作面DAC的垂線DZ為軸，建系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出二面角兩個(gè)面的法向量，由法向量夾角的余弦值得二面角的余弦值（注意判斷二面角是銳角還是鈍角）．

（1）證明：在直角梯形中由已知可得

，且面，

平面，

面，，

，面，面

∴面

且面，故面面；

（2）分別以DA、DC所在直線為軸、軸，以D為垂足作面DAC的垂線DZ為軸，建系如圖

，

則，

設(shè)面DEB的法向量為，

則，

取，則，故

設(shè)面DBF的法向量為，則，

取，則，故

則，

由圖可得二面角E-BD-F的余弦值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（1）寫出直線和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）過(guò)動(dòng)點(diǎn)且平行于的直線交曲線于兩點(diǎn)，若，求動(dòng)點(diǎn)到直線的最近距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，平面，，，與平面所成的角為.

(1)求證：平面平面；

(2)求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】時(shí)至21世紀(jì).環(huán)境污染已經(jīng)成為世界各國(guó)面臨的一大難題，其中大氣污染是目前城市急需應(yīng)對(duì)的一項(xiàng)課題.某市號(hào)召市民盡量減少開車出行以綠色低碳的出行方式支持節(jié)能減排.原來(lái)天天開車上班的王先生積極響應(yīng)政府號(hào)召，準(zhǔn)備每天從騎自行車和開小車兩種出行方式中隨機(jī)選擇一種方式出行.從即日起出行方式選擇規(guī)則如下：第一天選擇騎自行車方式上班，隨后每天用“一次性拋擲6枚均勻硬幣”的方法確定出行方式，若得到的正面朝上的枚數(shù)小于4，則該天出行方式與前一天相同，否則選擇另一種出行方式.

（1）求王先生前三天騎自行車上班的天數(shù)X的分布列；

（2）由條件概率我們可以得到概率論中一個(gè)很重要公式——全概率公式.其特殊情況如下：如果事件相互對(duì)立并且，則對(duì)任一事件B有.設(shè)表示事件“第n天王先生上班選擇的是騎自行車出行方式”的概率.

①用表示；

②王先生的這種選擇隨機(jī)選擇出行方式有沒(méi)有積極響應(yīng)該市政府的號(hào)召，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某汽車制造廠制造了某款汽車.為了了解汽車的使用情況，通過(guò)問(wèn)卷的形式，隨機(jī)對(duì)50名客戶對(duì)該款汽車的喜愛情況進(jìn)行調(diào)查，如圖1是汽車使用年限的調(diào)查頻率分布直方圖，如表2是該50名客戶對(duì)汽車的喜愛情況.

表2

不喜歡該款汽車

喜歡該款汽車

總計(jì)

女士

11

男士

23

30

總計(jì)

（1）將表2補(bǔ)充完整，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為是否喜歡該款汽車與性別有關(guān)；

（2）根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，甲說(shuō)：“中位數(shù)在組內(nèi)”；乙說(shuō)：“平均數(shù)大于中位數(shù)”；丙說(shuō)：“中位數(shù)和平均數(shù)一樣”，針對(duì)三位同學(xué)的說(shuō)法，你認(rèn)為哪種說(shuō)法合理，給出說(shuō)明.

附：.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)且.

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；

（2）當(dāng)時(shí)， 恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某大型公司為了切實(shí)保障員工的健康安全，貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關(guān)要求，決定在全公司范圍內(nèi)舉行一次普查，為此需要抽驗(yàn)1000人的血樣進(jìn)行化驗(yàn)，由于人數(shù)較多，檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案．

方案①：將每個(gè)人的血分別化驗(yàn)，這時(shí)需要驗(yàn)1000次．

方案②：按個(gè)人一組進(jìn)行隨機(jī)分組，把從每組個(gè)人抽來(lái)的血混合在一起進(jìn)行檢驗(yàn)，如果每個(gè)人的血均為陰性，則驗(yàn)出的結(jié)果呈陰性，這個(gè)人的血只需檢驗(yàn)一次（這時(shí)認(rèn)為每個(gè)人的血化驗(yàn)次）；否則，若呈陽(yáng)性，則需對(duì)這個(gè)人的血樣再分別進(jìn)行一次化驗(yàn)，這樣，該組個(gè)人的血總共需要化驗(yàn)次．

假設(shè)此次普查中每個(gè)人的血樣化驗(yàn)呈陽(yáng)性的概率為，且這些人之間的試驗(yàn)反應(yīng)相互獨(dú)立．

（1）設(shè)方案②中，某組個(gè)人的每個(gè)人的血化驗(yàn)次數(shù)為，求的分布列；

（2）設(shè)，試比較方案②中，分別取2，3，4時(shí)，各需化驗(yàn)的平均總次數(shù)；并指出在這三種分組情況下，相比方案①，化驗(yàn)次數(shù)最多可以平均減少多少次？（最后結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】向量集合,對(duì)于任意,以及任意,都有,則稱為“類集”,現(xiàn)有四個(gè)命題:

①若為“類集”,則集合也是“類集”;

②若,都是“類集”,則集合也是“類集”;

③若都是“類集”,則也是“類集”;

④若都是“類集”,且交集非空,則也是“類集”.

其中正確的命題有________(填所有正確命題的序號(hào))

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知正方體的棱長(zhǎng)為2，平面過(guò)正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，且與正方體每條棱所在直線所成的角相等，則該正方體在平面內(nèi)的正投影面積是__________.

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