Question

已知M={x|（x+3）（x-5）＞0}，P={x|x²+（a-8）x-8a≤0}．
（1）求a的一個值，使它成為M∩P={x|5＜x≤8}的一個充分而不必要條件；
（2）求a的一個取值范圍，使它成為M∩P={x|5＜x≤8}的一個必要而不充分條件．

Answer 1

解：化簡不等式可得M={x|x＜-3或x＞5}，P={x|（x+a）（x-8）≤0}．
（1）顯然，當(dāng)-3≤-a≤5，即-5≤a≤3時，M∩P={x|5＜x≤8}．
取a=0，由M∩P={x|5＜x≤8}不能推出a=0．
所以a=0是M∩P={x|5＜x≤8}的一個充分而不必要條件．
（2）當(dāng)M∩P={x|5＜x≤8}時，-5≤a≤3，此時有a≤3，
但當(dāng)a≤3時，推不出M∩P={x|5＜x≤8}．
所以a≤3是M∩P={x|5＜x≤8}的一個必要而不充分條件．
分析：化簡不等式可得M={x|x＜-3或x＞5}，P={x|（x+a）（x-8）≤0}．由集合的包含關(guān)系可得：（1）取a=0，可驗證a=0是M∩P={x|5＜x≤8}的一個充分而不必要條件．
（2）當(dāng)M∩P={x|5＜x≤8}時，-5≤a≤3，此時有a≤3，但當(dāng)a≤3時，推不出M∩P={x|5＜x≤8}，進而可得a≤3符合題意．
點評：本題考查充要條件的判斷，涉及一元二次不等式的解法，屬基礎(chǔ)題．