Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[1，2]，函數(shù)g(x)=x3+x2[f′(x)+

m

2

]在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；
（Ⅲ）求證：

ln2

2

×

ln3

3

×

ln4

4

×…×

lnn

n

＜

1

n

(n≥2，n∈N*)．

Answer 1

分析：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟是①求導(dǎo)函數(shù)f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函數(shù)的增區(qū)間（或減區(qū)間），
對于本題的（1）在求單調(diào)區(qū)間時要注意函數(shù)的定義域以及對參數(shù)a的討論情況；
（2）點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，即切線斜率為1，即f'（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t∈[1，2]，且g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)可知：

g′(1)＜0 g′(2)＜0 g′(3)＞0

，于是可求m的范圍．
（3）是近年來高考考查的熱點問題，即與函數(shù)結(jié)合證明不等式問題，常用的解題思路是利用前面的結(jié)論構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，對于函數(shù)取單調(diào)區(qū)間上的正整數(shù)自變量n有某些結(jié)論成立，進而解答出這類不等式問題的解．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

a(1-x)

x

(x＞0)（2分）
當(dāng)a＞0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1]，減區(qū)間為[1，+∞）；
當(dāng)a＜0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞），減區(qū)間為（0，1]；
當(dāng)a=0時，f（x）不是單調(diào)函數(shù)（4分）
（Ⅱ）f′(2)=-

a

2

=1得a=-2，f（x）=-2lnx+2x-3
∴g(x)=x3+(

m

2

+2)x2-2x，
∴g'（x）=3x²+（m+4）x-2（6分）
∵g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′（0）=-2
∴

g′(t)＜0 g′(3)＞0

(8分)
由題意知：對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：

g′(1)＜0 g′(2)＜0 g′(3)＞0

，∴-

37

3

＜m＜-9（10分）
（Ⅲ）令a=-1此時f（x）=-lnx+x-3，所以f（1）=-2，
由（Ⅰ）知f（x）=-lnx+x-3在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x∈（1，+∞）時f（x）＞f（1），即-lnx+x-1＞0，
∴l(xiāng)nx＜x-1對一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，則有0＜lnn＜n-1，
∴0＜

lnn

n

＜

n-1

n

∴

ln2

2

•

ln3

3

•

ln4

4

••

lnn

n

＜

1

2

•

2

3

•

3

4

••

n-1

n

=

1

n

(n≥2，n∈N*)

點評：本題考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，已知函數(shù)曲線上一點求曲線的切線方程即對函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的考查，考查求導(dǎo)公式的掌握情況．含參數(shù)的數(shù)學(xué)問題的處理，構(gòu)造函數(shù)求解證明不等式問題．