Question

（2012•綿陽三模）正方形AA₁D₁D與矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．
（I）求證：BD₁∥平面A₁DE；
（II）求二面角D₁-A₁E-D的大��；
（III）求多面體A₁D₁DBE的體積．

Answer 1

分析：（I）證明BD₁∥面A₁DE，利用線面平行的判定定理，連接AD₁交A₁D于F，，利用三角形的中位線的性質(zhì)，證明EF∥BD₁即可；
（II）建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，求出面A₁DE的一個(gè)法向量、面D₁A₁E的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求解；
（III）利用分割法，多面體A₁D₁DBE的體積=VE-AA1D1D-VE-AA1D，由此可求體積．

解答：（I）證明：連接AD₁交A₁D于F，則F為中點(diǎn)，
連接EF，如圖．
∵E為中點(diǎn)，∴EF∥BD₁．
又EF?面A₁DE，BD₁?面A₁DE，
∴BD₁∥面A₁DE
（II）解：由面ABCD⊥面ADD₁A₁，且四邊形ADD₁A₁為正方形，四邊形ABCD為矩形，得D₁D⊥AD，D₁D⊥DC，DC⊥DA．于是以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD₁分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
∴D（0，0，0）、D₁（0，0，1）、A₁（1，0，1）、E（1，1，0），
∴

DA1

=(1，0，1)、

DE

=(1，1，0)、

D1A1

=(1，0，0)、

D1E

=(1，1，-1)．
設(shè)面A₁DE的一個(gè)法向量為

n1

=（x₁，y₁，1），面D₁A₁E的一個(gè)法向量為

n2

=（x₂，y₂，1），
則

n1 • DA1 =0 n1 • DE =0

，

n2 • D1A1 =0 n2 • D1E =0

，即

x1+1=0 x1+y1=0

，

x2=0 x2+y2-1=0

解得：

n1

=（-1，1，1），

n2

=（0，1，1）．
設(shè)D₁-A₁E-D的大小為θ，于是cosθ=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

6

3

，
∴θ=arccos

6

3

，即二面角D₁-A₁E-D的大小為arccos

6

3

．
（III）解：多面體A₁D₁DBE的體積=VE-AA1D1D-VE-AA1D=

1

3

×AB×A1D1×DD1-

1

3

×EA×

1

2

×AA1×AD
=

1

3

×2×1×1-

1

3

×1×

1

2

×1×1=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查面面角，考查多面體體積的計(jì)算，考查利用向量知識(shí)解決立體幾何問題，屬于中檔題．