Question

15．如圖，在正四棱錐P-AMDE，底面AMDE的邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱PA=$\sqrt{5}$，B，C分別
為AM，MD的中點(diǎn)．F為棱PE的中點(diǎn)，平面ABF與棱PD，PC，PM分別交于點(diǎn)G，H，K．
（1）求證：AB∥FG；
（2）求正四棱錐P-AMDE的外接球的表面積．

Answer 1

分析 （1）證明AB∥平面PDE，即可證明AB∥FG；
（2）由正四棱錐P-AMDE的對(duì)稱性，得正四棱錐P-AMDE得外接球球心在線段PO′上，利用勾股定理求出球的半徑，即可求正四棱錐P-AMDE的外接球的表面積．

解答 （1）證明：在正方形AMDE中，因?yàn)锽是AM的中點(diǎn)，所以AB∥DE．
又因?yàn)锳B?平面PDE，DE?平面PDE
所以AB∥平面PDE．
因?yàn)锳B?平面ABF，且平面ABF∩平面PDE=FG，
所以AB∥FG．
（2）解：連接AD，EM，相交于O′，易得AO′=$\sqrt{2}$，PO′=$\sqrt{3}$．
由正四棱錐P-AMDE的對(duì)稱性，
得正四棱錐P-AMDE得外接球球心在線段PO′上，
不妨設(shè)為O點(diǎn)．設(shè)OA=OP=R，則OO′=$\sqrt{3}$-R，
∵AO²=AO′²+OO′²，
∴R²=2+（$\sqrt{3}$-R）²，
∴R=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$
∴S=4πR²=$\frac{25π}{3}$，
∴正四棱錐P-AMDE的外接球的表面積為$\frac{25π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的判定與性質(zhì)，考查正四棱錐P-AMDE的外接球的表面積，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．