Question

10．在周長為6的△ABC中，∠ABC=60°，點P在邊AB上，PH⊥CA于H（點H在邊CA上），且PH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，CP=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，則邊CA的長為2.1．

Answer 1

分析 先求出HC=1，BC，再過C作CQ⊥AB于Q，求出BQ，AQ，利用周長為6，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵PH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，CP=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，∴HC=1，
設(shè)AH=x，則AC=x+1，AP=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{3}{4}}$，
sinA=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{{x}^{2}+\frac{3}{4}}}$，
由正弦定理，可得BO=$\frac{2（x+1）}{\sqrt{4{x}^{2}+3}}$．
過C作CQ⊥AB于Q，
∴BQ=$\frac{x+1}{\sqrt{4{x}^{2}+3}}$，AQ=$\frac{2x（x+1）}{\sqrt{4{x}^{2}+3}}$，
∵周長為6，
∴$\frac{2（x+1）}{\sqrt{4{x}^{2}+3}}$+$\frac{x+1}{\sqrt{4{x}^{2}+3}}$+$\frac{2x（x+1）}{\sqrt{4{x}^{2}+3}}$+x+1=6
∴（x²+1）（60x-66）=0，
∴x=1.1，
∴AC=2.1，
故答案為：2.1．

點評 本題考查正弦定理，考查三角形周長的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．