Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定義域為R的奇函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）已知a=3，若f（3x）≥λ•f（x）對于x∈[1，2]時恒成立．請求出 最大的整數(shù)λ

Answer 1

分析 （1）由奇函數(shù)的性質(zhì)f（0）=0得k=2；
（2）根據(jù)a=3，將f（3x）≥λ•f（x）表示出來，利用換元法和參變量分離法，將不等式轉(zhuǎn)化為λ≤t²+3對t∈[$\frac{8}{3}$，$\frac{80}{9}$]恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得t²+3的最小值，即可求得λ的取值范圍，從而得到答案．

解答 解：（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)f（0）=0得k=2
（2）由題意，即3^3x+3^-3x≥λ（3^x-3^-x），在x∈[1，2]時恒成立
令t=3^x-3^-x，x∈[1，2]，則t∈[$\frac{8}{3}$，$\frac{80}{9}$]，
則（3^x-3^-x）（3^2x+3^-2x+1）≥λ（3^x-3^-x），x∈[1，2]恒成立，
即為t（t²+3）≥λ•t，t∈[$\frac{8}{3}$，$\frac{80}{9}$]恒成立，
λ≤t²+3，t∈[$\frac{8}{3}$，$\frac{80}{9}$]，恒成立，當t=$\frac{8}{3}$時，（t²+3）_min=$\frac{91}{9}$，
∴λ≤$\frac{91}{9}$，則λ的最大整數(shù)為10．，則λ的最大整數(shù)為10．

點評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)的恒成立問題，對于函數(shù)的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法進行求解．本題選用了參變量分離的方法轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求最值問題．屬于中檔題．