Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=A A₁，∠BA A₁=60°
（Ⅰ）證明AB⊥A₁C；
（Ⅱ）若AB=CB=2，A₁C=，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題目給出的邊的關(guān)系，可想到去AB中點(diǎn)O，連結(jié)OC，OA₁，可通過證明AB⊥平面OA₁C得要證的結(jié)論；
（Ⅱ）在三角形OCA₁中，由勾股定理得到OA₁⊥OC，再根據(jù)OA₁⊥AB，得到OA₁為三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高，利用已知給出的邊的長度，直接利用棱柱體積公式求體積．
解答：（Ⅰ）證明：如圖，
取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)OC，OA₁，A₁B．
因?yàn)镃A=CB，所以O(shè)C⊥AB．
由于AB=AA₁，，故△AA₁B為等邊三角形，
所以O(shè)A₁⊥AB．
因?yàn)镺C∩OA₁=O，所以AB⊥平面OA₁C．
又A₁C?平面OA₁C，故AB⊥A₁C；
（Ⅱ）解：由題設(shè)知△ABC與△AA₁B都是邊長為2的等邊三角形，
所以．
又，則，故OA₁⊥OC．
因?yàn)镺C∩AB=O，所以O(shè)A₁⊥平面ABC，OA₁為三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高．
又△ABC的面積，故三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積．
點(diǎn)評：題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了棱柱的體積，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題．