Question

2．在△ABC中，若tan$\frac{A}{2}$，tan$\frac{B}{2}$，tan$\frac{C}{2}$成等比數(shù)列，則角B的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{π}{6}$]
• B． [$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]
• C． （0，$\frac{π}{3}$]
• D． [$\frac{2π}{3}$，π）

Answer 1

分析 由題意和等比數(shù)列以及兩角和的正切公式可得tan²$\frac{B}{2}$=$\frac{（1-tan\frac{A}{2}tan\frac{C}{2}）^{2}}{（tan\frac{A}{2}+tan\frac{C}{2}）^{2}}$=tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$，進而可得（1-tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$）²=tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$（tan$\frac{A}{2}$+tan$\frac{C}{2}$）²，由基本不等式可得tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$的不等式，解不等式可得范圍，進而可得tan$\frac{B}{2}$的范圍，由三角函數(shù)和三角形的內(nèi)角的范圍可得．

解答 解：∵在△ABC中，若tan$\frac{A}{2}$，tan$\frac{B}{2}$，tan$\frac{C}{2}$成等比數(shù)列，
∴tan²$\frac{B}{2}$=tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$，∴$\frac{1}{ta{n}^{2}（\frac{A+C}{2}）}$=tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$，
由兩角和的正切公式可得$\frac{（1-tan\frac{A}{2}tan\frac{C}{2}）^{2}}{（tan\frac{A}{2}+tan\frac{C}{2}）^{2}}$=tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$，
∴（1-tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$）²=tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$（tan$\frac{A}{2}$+tan$\frac{C}{2}$）²
≥tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$（2$\sqrt{tan\frac{A}{2}tan\frac{C}{2}}$）²=4（tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$）²，
解關(guān)于tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$的不等式可得tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$≤$\frac{1}{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)tan$\frac{A}{2}$=tan$\frac{C}{2}$即A=C時取等號，
∴tan²$\frac{B}{2}$=tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$≤$\frac{1}{3}$，
∴tan$\frac{B}{2}$≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴0＜$\frac{B}{2}$≤$\frac{π}{6}$，
∴0＜B≤$\frac{π}{3}$
故選：C

點評 本題考查等比數(shù)列和兩角和與差的正切函數(shù)，以及基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題．