Question

已知曲線C上任意一點P到點F（0，1）的距離比它到直線l：y=-2的距離小1，一個圓的圓心為A（0，4），過點A的直線與曲線C交于D，E兩點．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）當線段DE長度最短時，曲線C過D點的切線與圓A相切的弦長為

8 5

5

，求此時圓A的方程．

Answer 1

考點：圓與圓錐曲線的綜合

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）根據拋物線的定義，即可求曲線C的方程；
（Ⅱ）根據直線和圓的位置關系，以及相應的弦長公式，求出圓的圓心和半徑，即可求出圓的方程．

解答： 解：（Ⅰ）點P到點F（0，1）的距離比它到直線l：y=-2的距離小1，
即P在直線l的上方，且P到點F（0，1）的距離與它到直線l：y=-1的距離相等，
即P點的軌跡是以F為焦點，l為準線的拋物線，則對應的拋物線方程為x²=4y．
（Ⅱ）設直線DE：y=kx+4，
由

y=kx+4 x2=4y

，得x²-4kx-16=0，
則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-16，
則DE=

(1+k2)(16k2+64)

=4

k4+5k2+4

，
則當k=0時，DE最短，不妨設D在第一象限，此時D（4，4），
過D的切線為2x-y-4=0，
過D點的切線與圓A相切的弦長2

R2-( 8 5 )2

=

8 5

5

，
解得R=4，
則圓的方程為x²+（y-4）²=16．

點評：本題主要考查拋物線的定義和方程的應用，利用直線和圓的位置關系的應用，綜合性較強，難度較大．