Question

橢圓ax²+by²=1與直線y=1-2x相交于A、B兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為

3

2

，則

a

b

的值為（　　）

• A．

  3

• B．

  3

  2

• C．

  2 3

  3

• D．

  3

  3

Answer 1

分析：設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，把直線方程和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的和，則A，B中點(diǎn)坐標(biāo)可求，由斜率公式列式可得

a

b

的值．

解答：解：設(shè)：點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
把y=1-2x代入橢圓ax²+by²=1得：（a+4b）x²-4bx+b-1=0
△=（-4b）²-4（a+4b）（b-1）=4a+16b-4ab①．
x1+x2=

4b

a+4b

，x1x2=

b-1

a+4b

．

x1+x2

2

=

2b

a+4b

，

y1+y2

2

=

1-2x1+1-2x2

2

=

2-2(x1+x2)

2

=1-(x1+x2)=1-

4b

a+4b

=

a

a+4b

．
設(shè)M是線段AB的中點(diǎn)，∴M（

2b

a+4b

，

a

a+4b

）．
∴直線OM的斜率為

a a+4b

2b a+4b

=

a

2b

=

3

2

．
則

a

b

=

3

．代入①滿足△＞0（a＞0，b＞0）．
故選A．

點(diǎn)評：本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，訓(xùn)練了斜率公式的應(yīng)用，是中檔題．