已知直線L被兩平行直線L1:2x-5y=-9與L2:2x-5y-7=0所截線段AB的中點恰在直線x-4y-1=0上,已知圓C:(x+4)2+(y+1)2=25.
(Ⅰ)求兩平行直線L1與L2的距離;
(Ⅱ)證明直線L與圓C恒有兩個交點;
(Ⅲ)求直線L被圓C截得的弦長最小時的方程.
【答案】
分析:(1)根據(jù)兩平行直線的距離公式可得兩平行直線L
1與L
2的距離;
(2)先求與兩平行直線L
1:2x-5y+9=0與L
2:2x-5y-7=0等距離的直線,再求出與x-4y-1=0的交點,從而可得直線L恒過定點P(-3,-1),進(jìn)而P(-3,-1)在圓C的內(nèi)部,從而可知直線L與圓C恒有兩個交點;
(3)直線L被圓C截得的弦長最小時,CP⊥L,根據(jù)C(-4,-1),P(-3,-1),即可求得
解答:解:(1)根據(jù)兩平行直線的距離公式可得:
(2)由題意,與兩平行直線L
1:2x-5y+9=0與L
2:2x-5y-7=0等距離的直線可設(shè)為2x-5y+c=0
則根據(jù)距離公式可得:|c-9|=|c+7|,∴c=1,
∴與兩平行直線L
1:2x-5y+9=0與L
2:2x-5y-7=0等距離的直線為2x-5y+1=0
∴AB的中點必在直線2x-5y+1=0上
又由2x-5y+1=0,x-4y-1=0可知,兩直線的交點為P(-3,-1)
∴直線L恒過定點P(-3,-1)
∵(-3+4)
2+(-1+1)
2<25.
∴P(-3,-1)在圓C的內(nèi)部
∴直線L與圓C恒有兩個交點;
(3)直線L被圓C截得的弦長最小時,CP⊥L
∵C(-4,-1),P(-3,-1)
∴所求直線方程為x=-3
點評:本題以兩條平行線為載體,考查兩平行線間的距離公式,考查兩條直線的交點,同時考查點與圓,直線與圓的位置關(guān)系,解題的關(guān)鍵是正確運用兩平行線間的距離公式,合理轉(zhuǎn)化.